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目录1

第1章　方程的导出和定解问题1

§1.1　方程的导出1

§1.2　定解条件和定解问题9

§1.3　反应—扩散方程13

§1.4　二阶线性方程的分类与叠加原理18

习题29

第2章　行波法31

§2.1　一维波动方程的初值问题31

2.1.1　无界弦的自由振动31

2.1.2　半无界弦的自由振动33

2.1.3　无界弦的强迫振动35

§2.2　二维与三维波动方程39

2.2.1　球对称情况40

2.2.2　一般情况41

2.2.3　空间非齐次波动方程44

2.2.4　降维法及二维波动方程45

§2.3　解的物理意义47

2.3.1　D Alembert公式的物理意义47

2.3.2　依赖区域、决定区域和影响区域48

习题二54

第3章　分离变量法和特殊函数57

§3.1 齐次边界条件的定解问题57

3.1.1 齐次方程齐次边界条件57

3.1.2 非齐次方程齐次边界条件69

3.2.1　边界条件齐次化72

§3.2　非齐次边界条件的定解问题72

3.2.2 周期性条件和自然边界条件77

§3.3　柱域中的分离变量法和Bessel函数80

3.3.1　Bessel方程的引出80

3.3.2　Bessel函数及其性质83

§3.4　球域中的分离变量法及Legendre多项式97

3.4.1　Legendre方程的引出97

3.4.2　Legendre多项式99

§3.5　本征值理论110

3.5.1　Sturm—Liouville边值问题110

3.5.2 本征函数的正交性113

3.5.3　展开定理117

3.5.4 奇异的本征值问题119

习题三121

第4章　积分变换法128

§4.1　Fourier变换及其性质128

§4.1.1　Fourier变换的形式导出及它的定义128

§4.1.2　Fourier变换的基本性质131

§4.1.3 多维Fourier变换的简单介绍134

§4.2　Fourier变换在求解偏微分方程初值问题中的应用134

4.2.1 一维热传导方程的初值问题134

4.2.2 一维波动方程的初值问题136

4.2.3　应用Fourier变换求解边值问题138

§4.3　Laplace变换及其性质139

4.3.1　Laplace变换的形式推导139

4.3.3　Laplace变换的基本性质140

4.3.2　存在定理与反演公式140

4.3.4　Laplace逆变换与展开定理144

§4.4　Laplace变换在求解偏微分方程定解问题中的应用148

4.4.1 热传导方程的混合问题148

4.4.2　弦振动方程的混合问题150

习题四151

第5章　Green函数法155

§5.1　δ函数及它的基本运算155

5.1.1　δ函数与广义函数155

5.1.2 广义函数及它的基本运算162

5.1.3　广义函数（δ函数）的Fourier变换164

5.2.1　Green公式、基本解与基本积分公式165

§5.2　调和方程第一边值问题的Green函数法165

5.2.2　Green函数及其性质168

5.2.3　特殊区域的Green函数170

§5.3　热传导方程的Green函数法176

5.3.1　混合问题176

5.3.2　初值问题181

习题五184

第6章　数值解法188

§6.1　差分解法188

6.1.1 抛物型方程混合问题的差分方法188

6.1.2　双曲型方程的差分格式193

6.1.3　Poisson方程第一边值问题的差分格式195

§6.2　变分原理198

6.2.1 泛函和泛函的极值199

6.2.2 与偏微分方程边值问题等价的变分问题203

§6.3　解Laplace方程边值问题的有限元法207

6.3.1 Galerkin方法208

6.3.2　Sobolev空间与弱解210

6.3.3　边值问题有限元法概述211

习题六222

第7章　一阶偏微分方程组225

§7.1　例子及有关概念225

§7.2　特征理论230

§7.3　狭义双曲型方程组的Cauchy问题236

§7.4　特征线法244

习题七253

第8章　非线性方程255

§8.1　追赶问题和广义解255

§8.2　交通流模型和Burgers方程265

§8.3　KdV方程和孤立子（Soliton）269

8.3.1　KdV方程的由来269

8.3.2　KdV方程的孤立波解271

8.3.3　孤立波的相互作用和孤立子275

§8.4　不变变换和相似解280

8.4.1　平移变换和标度变换280

8.4.2　Lie点变换群283

8.4.3　相似约化和相似解291

习题八295

附录A　Fourier变换表298

附录B　Laplace变换表299

附录C　柱函数、球函数的公式和数表300

参考文献305