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第1章 函数1

1.1 函数1

1.1.1 常量与变量1

1.1.2 函数基本知识4

1.2 复合函数与反函数5

1.2.1 复合函数5

1.2.2 反函数6

1.3 基本初等函数6

1.3.1 多项式函数7

1.3.2 有理函数7

1.3.3 幂函数7

1.3.4 指数函数9

1.3.5 对数函数9

1.3.6 三角函数9

1.3.7 反三角函数10

思考题10

习题11

第2章 数列极限14

2.1 数列极限的概念和定义14

2.2 数列极限的性质17

2.3 数列极限存在的条件21

2.3.1 单调数列、数e21

2.3.2 柯西收敛准则22

2.4 数列极限的种类及其计算方法24

2.4.1 无穷大量的种类及比较25

2.4.2 数列极限的分类及其计算方法25

思考题36

习题37

第3章 函数极限与连续性40

3.1 函数极限的定义40

3.2 函数极限的性质43

3.3 函数极限存在条件45

3.4 两个重要极限47

3.5 无穷小量、无穷大量及渐近线计算49

3.5.1 无穷小量及其比较49

3.5.2 无穷大量及其比较50

3.5.3 渐近线计算51

3.6 函数的连续性52

3.6.1 函数在一点的连续性52

3.6.2 间断点及其分类54

3.6.3 区问上的连续函数55

3.6.4 连续函数的简单性质55

3.6.5 闭区间上连续函数的基本性质56

3.6.6 一致连续57

3.7 函数极限分类及算法58

3.7.1 连续函数的极限58

3.7.2 ∞/∞型极限计算58

3.7.3 ∞-∞型极限59

3.7.4 0/0型极限62

3.7.5 与差有关的0/0型极限计算63

3.7.6 (1+0)∞型极限计算69

3.7.7 (1+1/∞)∞型极限计算73

思考题77

习题&.78

第4章 导数和微分83

4.1 导数定义及其几何意义83

4.1.1 导数引入83

4.1.2 导数定义83

4.1.3 导数的几何意义84

4.2 初等函数的导数计算85

4.2.1 直接利用定义对计算一些基本初等函数的导数85

4.2.2 导数计算的基本法则87

4.2.3 函数的变化率91

4.3 高阶导数、微分及高阶微分92

4.3.1 导函数92

4.3.2 高阶导数运算法则93

4.3.3 高阶微分96

4.3.4 微分应用98

4.4 含参变量的函数导数计算100

4.5 微分学的几个基本定理101

4.5.1 罗尔定理102

4.5.2 拉格朗日中值定理102

4.6 泰勒级数105

4.6.1 泰勒公式105

4.6.2 五个基本初等函数的麦克劳林算式106

思考题107

习题108

第5章 微分学应用114

5.1 洛必达法则114

5.1.1 洛必达法则理论依据114

5.1.2 洛必达法则计算算例115

5.1.3 使用洛必达法注意事项119

5.2 极值问题120

5.2.1 极值点和极值计算120

5.2.2 拐点和曲线的凹凸性123

5.2.3 平面曲线的描绘123

5.3 超越方程和高次方程数值算法124

5.3.1 牛顿法125

5.3.2 割线法126

5.4 泰勒级数的数值算法127

5.4.1 代数插值多项式127

5.4.2 泰勒级数的数值算法131

思考题134

习题134

第6章 不定积分137

6.1 不定积分的引入及其基本性质137

6.1.1 不定积分引入137

6.1.2 不定积分基本性质138

6.2 基本积分表139

6.3 第一换元法Ⅰ141

6.3.1 坐标变换法141

6.3.2 幂函数变换法142

6.3.3 一般凑微分法142

6.3.4 函数幂变换法143

6.4 有理函数积分法144

6.4.1 简单有理函数144

6.4.2 一般有理函数的积分146

6.5 第一换元法Ⅱ147

6.5.1 R（sinx,cosx）型被积函数的积分147

6.5.2 形如R（sinh x,cosh x）的积分152

6.5.3 一些特殊根式函数的积分153

6.6 第二换元法155

6.6.1 形如∫(a2-x2）n/2dx的积分156

6.6.2 形如∫(x2±a2）n/2dx的积分158

6.7 分部积分法160

6.7.1 分部积分法的充要条件160

6.7.2 满足充分条件一的函数类型及其积分162

6.7.3 满足充分条件二的函数类型及其积分162

6.7.4 满足充分条件三的函数类型及其积分163

6.8 混合积分164

6.8.1 先用第一换元法再用分部积分法积分的函数类型和积分164

6.8.2 先用分部积分法再用第一换元法的函数类型和积分167

6.8.3 先用第二换元法再用第一换元法的函数类型和积分167

6.8.4 先用第一换元法再用第二换元法的函数类型和积分168

思考题169

习题169

第7章 定积分173

7.1 定积分基本概念173

7.1.1 定积分引入173

7.1.2 定积分定义173

7.1.3 可积函数175

7.1.4 定积分的几何意义176

7.2 定积分基本性质177

7.3 积分学基本定理178

7.4 定积分中的换元法和分部积分法181

7.4.1 换元法181

7.4.2 分部积分法181

7.4.3 定积分的注意事项184

7.5 变限积分和微积分学基本定理186

7.5.1 变限积分186

7.5.2 原函数的存在性定理186

7.6 反常积分188

7.6.1 问题提出188

7.6.2 区间无限（穷）的反常积分定义190

7.6.3 无界函数的反常积分191

7.6.4 无穷积分的性质与收敛判断192

7.7 定积分算法小结194

7.7.1 分部积分法算例小结194

7.7.2 综合算法195

7.7.3 某些数列的极限计算197

思考题198

习题198

第8章 定积分应用202

8.1 定积分在几何上的应用202

8.1.1 计算平面图形面积202

8.1.2 计算用参数方程描述的曲线所围的面积203

8.1.3 计算极坐标下图形的面积205

8.2 曲线长度、曲率半径、柱体、锥体、旋转体体积和表面积计算206

8.2.1 计算曲线长度206

8.2.2 计算曲率208

8.2.3 利用断面面积作体积计算209

8.2.4 旋转体侧面积210

8.2.5 定积分在力学、物理上的应用211

8.3 定积分的数值计算213

8.3.1 牛顿积分算法214

8.3.2 代数精确度216

8.3.3 低阶牛顿积分公式截断误差217

8.3.4 高斯积分219

思考题222

习题222