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第一章 向量与复数1

1.1向量的线性运算1

1.1.1向量及其表示1

1.1.2向量的线性运算2

1.1.3向量的共线与共面3

1.2坐标系6

1.2.1仿射坐标系6

1.2.2向量的坐标运算9

1.2.3直角坐标系10

1.3向量的数量积11

1.3.1数量积的定义与性质11

1.3.2直角坐标系下数量积的计算13

1.4向量的向量积14

1.4.1向量积的定义与性质14

1.4.2直角坐标系下向量积的计算16

1.5向量的混合积18

1.5.1混合积的定义18

1.5.2直角坐标系下混合积的计算19

1.5.3二重向量积20

1.6高维数组向量21

1.7复数22

1.7.1复数的四则运算22

1.7.2复数的几何表示23

1.8数域26

1.9求和符号27

习题一29

第二章 空间解析几何31

2.1直线与平面31

2.1.1直线的方程31

2.1.2平面的方程32

2.1.3点到直线的距离35

2.1.4点到平面的距离35

2.1.5两直线的位置关系36

2.1.6两平面的位置关系37

2.1.7直线与平面的位置关系38

2.2空间曲线与曲面39

2.2.1曲线与曲面的方程39

2.2.2柱面41

2.2.3锥面42

2.2.4旋转面43

2.2.5二次曲面简介45

2.3坐标变换49

2.3.1坐标系的平移50

2.3.2坐标系的旋转51

2.3.3一般坐标变换52

习题二53

第三章 线性方程组56

3.1 Gauss消元法57

3.2 Gauss消元法的矩阵表示60

3.3一般线性方程组的Gauss消元法63

3.3.1算法描述63

3.3.2线性方程组解的属性64

习题三67

第四章 矩阵与行列式70

4.1矩阵的定义70

4.2 矩阵的运算73

4.2.1加法与数乘73

4.2.2矩阵的乘法74

4.2.3逆矩阵79

4.2.4转置、共轭与迹80

4.2.5分块运算82

4.3行列式85

4.3.1行列式的定义86

4.3.2行列式的展开式91

4.3.3行列式的计算97

4.3.4 Cramer法则100

4.4初等变换102

4.5秩与相抵107

4.5.1秩与相抵的定义108

4.5.2秩的计算111

4.5.3相抵标准形的应用112

习题四113

第五章 线性空间117

5.1数组空间及其子空间117

5.2线性相关与线性无关119

5.3极大无关组与秩124

5.4基与维数131

5.5线性方程组解集的结构136

5.5.1线性方程组解的存在性与唯一性136

5.5.2齐次线性方程组解集的结构137

5.5.3非齐次线性方程组解集的结构139

5.6一般线性空间140

5.6.1一般线性空间的定义140

5.6.2一般线性空间的理论145

5.7子空间的运算149

5.7.1子空间的交150

5.7.2子空间的和150

5.7.3子空间的直和152

习题五154

第六章 线性变换159

6.1线性变换的定义与性质159

6.1.1线性变换的定义159

6.1.2线性变换的性质162

6.2 线性变换的矩阵163

6.2.1线性变换在一组基下的矩阵163

6.2.2线性变换在不同基下的矩阵166

6.2.3矩阵的相似168

6.3特征值与特征向量169

6.3.1特征值与特征向量的定义169

6.3.2特征值与特征向量的计算171

6.4矩阵的相似对角化176

6.4.1矩阵相似于对角矩阵的充要条件176

6.4.2特征值的代数重数与几何重数178

6.4.3相似于上三角形矩阵181

6.5 若尔当标准形简介182

习题六189

第七章 欧几里得空间194

7.1定义与基本性质194

7.1.1欧几里得空间的定义194

7.1.2欧几里得空间的性质195

7.2内积的表示与标准正交基198

7.3欧几里得空间中的线性变换202

7.3.1正交变换与正交矩阵202

7.3.2对称变换与对称矩阵205

7.3.3实对称矩阵的对角化207

7.4欧几里得空间的子空间208

7.5酉空间210

7.5.1酉空间的基本概念210

7.5.2酉空间的基本性质211

7.5.3酉变换与酉矩阵212

7.5.4 Hermite变换与Hermite矩阵214

7.5.5规范变换与规范矩阵215

7.5.6酉变换和Hermite变换的对角化219

习题七220

第八章 实二次型224

8.1二次型的矩阵表示224

8.2二次型的标准形226

8.3相合不变量与分类234

8.4二次曲线与曲面的分类236

8.5正定二次型240

习题八244

参考文献248