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目录1

第一章 复数的几何1

§1 复数及其几何表示1

1．复数的概念1

2．复数的平面表示2

3．复数的球面表示8

§2 复平面拓扑12

1．平面收敛点列12

2．开集、闭集14

3．紧集17

4．连续映照20

5．路径和区域23

§3 线性变换30

1．基本性质30

2．典型的线性变换35

3．非欧几何学36

第二章 初等函数及其映照40

§1 幂级数40

1．级数40

2．幂级数的收敛圆41

§2 初等函数44

1．指数函数、三角函数44

2．对数函数、幂函数48

1．解析的概念52

§3 解析函数52

2．初等函数的解析性57

3．柯西——黎曼方程61

§4 初等映照65

1．导数的几何意义65

2．映照ω=za67

3．映照ω=ez70

4．映照ω=？(z+？)71

5．例题72

第三章 局部柯西定理78

§1 复变函数的积分78

1．沿路径的积分78

2．闭路径的指标81

§2 凸域中的柯西定理85

1．预备定理85

2．三角形的柯西定理86

3．凸域中的柯西定理90

4．凸域中的柯西公式92

§3 幂级数展开94

1．泰勒定理94

2．摩勒尔定理、刘维尔定理97

第四章 解析函数的局部性质103

§1 零点103

1．零点的孤立性103

2．恒等定理106

§2 最大模原理、希瓦兹引理107

1．最大模、最小模107

2．应用110

3．希瓦兹引理112

§3 奇点114

1．可去奇点114

2．极点115

3．本性奇点118

4．越过直线的解析延拓121

§1 含参变量的积分126

第五章 大范围的柯西定理126

§2 大范围的柯西定理129

1．圈、同调129

2．大范围的柯西定理的表述和证明132

§3 同伦、单连通区域136

1．同伦的概念136

2．同伦和同调的关系139

3．单连通区域的柯西定理145

§4 Log？（z）的单值解析分支147

1．？（z）是解析函数147

2．？（z）是有理函数150

3．例题152

§1 留数定理161

第六章 留数161

§2 用留数计算积分166

1．计算实积分166

2．涉及到多值函数的积分177

§3 级数求和184

§4 解析函数的零点个数187

1．辐角原理187

2．路歇定理190

第七章 理论的进一步发展194

§1 罗朗级数194

1．外斯特拉斯定理194

2．罗朗定理197

3．函数在无穷远点的性质205

§2 调和函数209

1．基本性质209

2．波阿松公式215

3．狄里赫勒问题217

§3 解析延拓原理223

1．概述223

2．解析延拓的一般方法225

3．整体解析函数230

§4．单值定理233

1．沿连续曲线的解析延拓233

2．具有公共端点的同伦曲线237

3．单值定理的表述和证明238