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第一章 一些通用的数学概念与记号1

§1．逻辑符号1

1．关系与括号1

2．关于证明的注记2

3．某些专门记号3

4．最后的注记3

练习3

§2．集与集的初等运算4

1．集合的概念4

2．包含关系5

3．最简单的集合运算7

练习9

§3．函数10

1．函数（映射）的概念10

2．映射的简单分类13

3．函数的复合与互逆映射14

4．作为关系的函数．函数的图像16

练习19

§4．某些补充21

1．集的势（基数）21

2．公理化集合论23

3．关于数学命题的逻辑结构及其用集合论语言的写法的注记24

练习26

第二章 实数29

§1．实数集的公理系统及它的某些一般性质29

1．实数集的定义29

2．实数的某些一般的代数性质32

3．完备公理与数集的上（下）确界的存在性36

§2．最重要的实数类及实数计算方面的一些问题38

1．自然数与数学归纳原理38

2．有理数与无理数40

3．阿基米德原理43

4．实数集的几何解释与实数计算方面的一些问题44

练习54

§3．与实数集的完备性有关的基本引理58

1．闭区间套引理（柯西-康托尔原理）58

2．有限覆盖引理（博雷尔-勒贝格原理）59

3．极限点引理（波尔察诺-魏尔斯特拉斯原理）60

练习60

§4．可数集与不可数集61

1．可数集61

2．连续统的势63

练习63

第三章 极限66

§1．序列的极限66

1．定义和例子66

2．数列极限的性质68

3．数列极限的存在问题72

4．级数的初步知识81

练习90

§2．函数的极限93

1．定义和例子93

2．函数极限的性质97

3．函数极限的一般定义（对基的极限）112

4．函数极限的存在问题115

练习130

第四章 连续函数133

§1．基本定义和例子133

1．函数在一点处的连续性133

2．间断点137

§2．连续函数的性质140

1．局部性质140

2．连续函数的整体性质141

练习149

第五章 微分学154

§1．可微函数154

1．问题和引言154

2．在一点处可微的函数158

3．切线；导数和微分的几何意义161

4．坐标系的作用163

5．一些例子165

练习170

§2．微分的基本法则171

1．微分法和算术运算171

2．复合函数的微分法175

3．反函数的微分法178

4．基本初等函数的导数表182

5．最简单的隐函数的微分法183

6．高阶导数187

练习190

§3．微分学的基本定理191

1．费马引理和罗尔定理191

2．拉格朗日和柯西的有限增量定理193

3．泰勒公式196

练习208

§4．用微分学的方法研究函数212

1．函数单调的条件（参看函数单调性检验法）212

2．函数的内极值点条件213

3．函数凸的条件218

4．洛必达法则225

5．作函数的图像226

练习235

§5．复数初等函数彼此间的联系238

1．复数238

2．C中的收敛及复数项级数241

3．欧拉公式以及初等函数彼此间的联系245

4．函数的幂级数表示，解析性248

5．复数域C的代数封闭性253

练习259

§6．自然科学中应用微分学的一些例子260

1．齐奥尔柯夫斯基公式260

2．气压公式262

3．放射衰变、连锁反应及原子反应堆264

4．空气中的落体266

5．再谈数e及指数函数exp x267

6．振动270

练习273

§7．原函数276

1．原函数和不定积分276

2．求原函数的基本的一般方法278

3．有理函数的原函数284

4．？R（cos x，sin x）dx型的原函数287

5．？R（x，y（x））dx型的原函数289

练习292

第六章 积分298

§1．积分定义和可积函数集的描述298

1．问题和启发性想法298

2．黎曼积分的定义299

3．可积函数集301

练习312

§2．积分的线性性、可加性和单调性314

1．作为空间R［a，b］上的线性函数的积分314

2．作为积分区间的可加函数的积分314

3．积分的估计，积分的单调性和中值定理316

练习323

§3．积分和导数324

1．积分和原函数324

2．牛顿-莱布尼茨公式326

3．定积分的分部积分法和泰勒公式326

4．定积分中的变量替换328

5．一些例子330

练习334

§4．积分的一些应用336

1．定向区间的可加函数和积分336

2．道路的长度338

3．曲边梯形的面积343

4．旋转体的体积344

5．功与能345

练习350

§5．反常积分351

1．反常积分的定义、例题和基本性质351

2．反常积分收敛性的研究355

3．具有几个奇异点的反常积分360

练习362

第七章 多变量函数和它的极限与连续性365

§1．空间Rm和它的重要子集类365

1．集合Rm和Rm中的距离365

2．Rm中的开集与闭集367

3．Rm中的紧集369

练习371

§2．多变量函数的极限与连续性371

1．函数的极限371

2．多变量连续函数及其性质376

练习380

第八章 多变量函数微分学381

§1．Rm中的线性结构381

1．作为向量空间的Rm381

2．线性映射382

3．Rm中的范数383

4．Rm的欧几里得结构384

§2．多变量函数的微分386

1．多变量可微函数和函数在一点的微分386

2．实值函数的偏导数与微分387

3．映射的微分的坐标表示，雅可比矩阵389

4．函数在一点的连续性、偏导数和可微性390

§3．微分法的基本定律391

1．微分法运算的线性性质391

2．复合映射的微分法393

3．逆映射的微分法397

练习399

§4．多变量实值函数微分学的基本事实403

1．中值定理403

2．多变量函数可微性的充分条件405

3．高阶偏导数406

4．泰勒公式409

5．多变量函数的极值411

6．与多变量函数有关的某些几何形象417

练习421

§5．隐函数定理426

1．问题的提出与启发性想法426

2．隐函数定理的最简单情形428

3．过渡到依赖关系F（x1，…，xm，y）＝0的情形431

4．隐函数定理434

练习438

§6．隐函数定理的一些推论442

1．反函数定理442

2．局部地把光滑映射化为典则形式446

3．函数相关性450

4．局部地分解微分同胚为最简形式的复合451

5．莫尔斯引理453

练习456

§7．Rn中的曲面和条件极值理论457

1．Rn中的k维曲面458

2．切空间462

3．条件极值466

练习477

口试试题481

考试大纲486

参考文献489

名词索引494

中文版修订者的话509