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第一章 集合，笛卡尔坐标系1

1.1 集合1

1.2 直线上点的笛卡尔坐标4

1.3 平面上点的笛卡尔坐标6

1.4 空间中点的笛卡尔坐标10

1.5 平面极坐标，空间柱坐标和空间球坐标13

第二章 平面解析几何21

2.1 平面曲线21

2.2 平面直线25

2.3 平面圆锥曲线38

（一）椭圆38

（二）双曲线45

（三）抛物线52

（四）正圆锥上的曲线56

2.4 坐标方法58

2.5 坐标变换和平面二次曲线的分类64

第三章 空间曲面79

3.1 空间曲面的定义79

3.2 空间平面81

3.3 二次曲面85

3.4 二次直纹面102

第四章 行列式理论107

4.1 排列107

4.2 和号∑114

4.3 三阶行列式121

4.4 n阶行列式124

4.5 代数余子式.Laplace展开式131

4.6 行列式计算的一些技巧138

4.7 Cramer法则151

附录 数学证明156

第五章 矩阵及其代数运算161

5.1 矩阵的代数运算161

5.2 Binet-Cauchy公式178

5.3 矩阵的秩和逆方阵184

5.4 初等变换和矩阵的相抵193

第六章 线性方程组的理论204

6.1 非齐次线性方程组204

6.2 齐次线性方程组214

6.3 方阵的特征根218

第七章 线性（向量）空间227

7.1 向量227

7.2 平面直线，空间直线和平面242

7.3 n维线性（向量）空间250

7.4 n维线性空间的基259

7.5 n维线性空间的同构262

7.6 n维线性空间的子空间266

7.7 线性方程组求解的几何理论276

7.8 基变换和坐标变换279

第八章 线性变换284

8.1 变换和变换的例284

8.2 n维线性空间的线性变换293

8.3 仿射空间306

8.4 复仿射空间314

第九章 Euclid空间316

9.1 二维和三维Euclid空间，Euler角316

9.2 向量积，Euclid空间的平面法线式336

9.3 n维Euclid空间，Schmidt正交化349

9.4 方阵在正交相似下的标准形369

9.5 n维Euclid点空间中二次超曲面的正交分类389

9.6 定正对称方阵及方阵的极分解404

第十章 酉空间424

10.1 n维酉空间，Schmidt正交化424

10.2 在酉相似下复方阵的标准形428

10.3 定正Hermite方阵及复方阵的极分解433

第十一章 二次型分类437

11.1 线性函数和双线性函数437

11.2 对称方阵在相合下的标准形447

11.3 n维实仿射（点）空间二次超曲面的仿射分类470

11.4 斜对称方阵在相合下的标准形476

11.5 复对称及复斜对称方阵在酉相合下的标准形479

第十二章 射影空间485

12.1 射影直线485

12.2 射影平面493

12.3 n维射影空间和n维复射影空间501

12.4 各种几何学间的关系508

第十三章 方阵在相似下的标准形515

13.1 复系数多项式的最大公因子515

13.2 λ矩阵在相抵下的标准形519

13.3 方阵在相似下的标准形534

13.4 方阵函数和方阵幂级数552

第十四章 方阵在复相似下的标准形573

14.1 方阵在复相似下的标准形（一）573

14.2 方阵在复相似下的标准形（二）580

第十五章 矩阵偶的标准形理论590

15.1 矩阵偶在相抵下的标准形590

15.2 复对称及复斜对称方阵偶在相合下的标准形606

第十六章 环和域615

16.1 环和域的定义615

16.2 子环，理想子环，商环628

16.3 环的同态及同态基本定理635

16.4 整数环及剩余式642

16.5 整环的分式域654

16.6 域上线性空间658

16.7 多重线性函数和张量663

16.8 辛空间677

第十七章 初等析因理论681

17.1 因子分解和分解的唯一性681

17.2 主理想整环和Euclid整环689

第十八章 多项式环695

18.1 多项式环695

18.2 唯一析因整环上的多项式环的初等析因理论701

18.3 域上多项式环709

18.4 域上多元多项式环，对称多项式720

第十九章 域上多项式的根731

19.1 域的扩张，域上多项式根的存在定理731

19.2 有理数域上多项式的根740

19.3 实数域上多项式的根，Sturm定理742

19.4 复数域上多项式的根，代数基本定理747

19.5 结式和判别式754

第二十章 群759

20.1 群的定义759

20.2 变换群，对称群，循环群765

20.3 子群，正规子群，商群771

20.4 群的同态及同态基本定理776

20.5 具有有限生成元的交换群基本定理780