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第1章 三维欧氏空间中的矢量与张量1

1.1 张量的定义1

1.2 矢量代数4

1.2.1 坐标基矢4

1.2.2 任意矢量的点积与叉积6

1.2.3 δ符号和ε符号的几个公式9

1.2.4 三矢量的连乘积11

1.3 坐标变换12

1.3.1 基矢的变换12

1.3.2 赝矢量与赝标量15

1.3.3 矢量分量的变换规律17

1.3.4 正交变换18

1.4 三维欧氏空间中张量的定义20

1.4.1 三维欧氏空间20

1.4.2 张量的定义21

1.4.3 一阶和二阶张量的整体符号28

1.5 三维欧氏空间中的张量运算31

1.5.1 张量的运算31

1.5.2 三阶完全反对称赝张量34

1.5.3 三维欧氏空间中的二阶张量37

1.6 矢量场与张量场 梯度 散度 旋度42

1.6.1 导数张量42

1.6.2 梯度 散度 旋度44

1.6.3 高阶导数与乘积的导数48

习题151

第2章 仿射空间与伪欧氏空间中的张量54

2.1 改变空间性质的必要性54

2.2 仿射空间中的张量57

2.2.1 仿射空间的定义58

2.2.2 仿射空间中的坐标系及其变换60

2.2.3 逆变张量与协变张量63

2.2.4 张量运算66

2.2.5 由仿射空间到欧氏空间67

2.3 伪欧氏空间中的张量69

2.3.1 伪欧氏空间的建立69

2.3.2 伪欧氏空间中的坐标基矢72

2.3.3 伪欧氏空间中的张量73

2.4 闵可夫斯基空间78

2.4.1 洛伦兹变换79

2.4.2 复欧氏空间83

2.4.3 洛伦兹变换的几何意义89

2.4.4 光锥91

2.4.5 洛伦兹收缩93

2.4.6 相对论力学中的张量分析95

2.5 闵可夫斯基空间中的张量场98

2.5.1 电动力学方程的四维表述98

2.5.2 相对论流体力学方程105

习题2111

第3章 平直空间中的曲线坐标113

3.1 局部标架113

3.1.1 曲线坐标113

3.1.2 局部标架116

3.1.3 拉梅系数117

3.1.4 曲线坐标中的体积元119

3.1.5 曲线坐标中的梯度、散度、旋度120

3.2 曲线坐标中的张量121

3.2.1 坐标变换122

3.2.2 张量的定义与运算123

3.2.3 度规张量124

3.2.4 弧长与体积125

3.3 平行移动与联络127

3.3.1 矢量的平行移动128

3.3.2 联络的变换规律130

3.3.3 克里斯托菲尔符号131

3.4 协变导数133

3.4.1 一阶协变张量场的协变导数133

3.4.2 一阶逆变张量场的协变导数136

3.4.3 高阶张量场的协变导数137

3.4.4 协变微分137

3.4.5 矢量场的散度与旋度138

3.5 曲线坐标小结141

3.5.1 空间一固定点的局部标架中的张量141

3.5.2 空间不同点的局部标架之间的联络142

习题3145

第4章 黎曼空间中的张量148

4.1 黎曼空间与仿射联络空间148

4.1.1 流形中的张量148

4.1.2 仿射联络空间150

4.1.3 里奇引理152

4.1.4 黎曼空间153

4.2 平行移动对路径的依赖性 曲率张量157

4.2.1 平行移动对路径的依赖性157

4.2.2 曲率张量的定义158

4.2.3 曲率张量的性质161

4.2.4 协变曲率张量162

4.2.5 里奇张量与标量曲率164

4.2.6 二维黎曼空间的高斯曲率164

4.3 黎曼空间的测地线166

4.3.1 测地线的定义166

4.3.2 测地线的微分方程167

4.3.3 黎曼空间中的测地线169

4.4 广义相对性原理173

4.4.1 有引力场存在时时空的弯曲173

4.4.2 基本粒子的内部对称性176

习题4181