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第一章 矩阵运算1

第一节 基本运算1

第二节 行约简7

第三节 行列式14

第四节 置换矩阵19

第五节 克拉默法则21

练习23

第二章 群29

第一节 群的定义29

第二节 子群33

第三节 同构36

第四节 同态38

第五节 等价关系和划分39

第六节 陪集42

第七节 限制到子群的同态44

第八节 群的积46

第九节 模算术47

第十节 商群49

练习51

第三章 向量空间59

第一节 实向量空间59

第二节 抽象域62

第三节 基和维数65

第四节 用基计算70

第五节 无限维空间74

第六节 直和76

练习77

第四章 线性变换82

第一节 维数公式82

第二节 线性变换的矩阵83

第三节 线性算子和特征向量86

第四节 特征多项式90

第五节 正交矩阵与旋转92

第六节 对角化97

第七节 微分方程组100

第八节 矩阵指数103

练习108

第五章 对称117

第一节 平面图形的对称117

第二节 平面运动群118

第三节 有限运动群122

第四节 离散运动群125

第五节 抽象对称：群作用132

第六节 对陪集的作用134

第七节 计数公式136

第八节 置换表示137

第九节 旋转群的有限子群139

练习142

第六章 群论的进一步讨论149

第一节 群在自身的作用149

第二节 二十面体群的类方程151

第三节 在子集上的作用153

第四节 西罗定理154

第五节 12阶群157

第六节 对称群计算159

第七节 自由群163

第八节 生成元与关系165

第九节 托德-考克斯特算法168

练习172

第七章 双线性型179

第一节 双线性型的定义179

第二节 对称型：正交性183

第三节 正定型相关的几何186

第四节 埃尔米特型188

第五节 谱定理190

第六节 圆锥曲线与二次曲面192

第七节 正规算子的谱定理195

第八节 斜对称型196

第九节 用矩阵记号对结果的小结197

练习198

第八章 线性群204

第一节 典型线性群204

第二节 特殊酉群SU2205

第三节 SU2的正交表示208

第四节 特殊线性群SL2（R）212

第五节 单参数子群213

第六节 李代数216

第七节 群的平移220

第八节 单群223

练习226

第九章 群表示232

第一节 群表示的定义232

第二节 G-不变型及酉表示234

第三节 紧群236

第四节 G-不变子空间与既约表示237

第五节 特征标238

第六节 置换表示与正则表示243

第七节 二十面体群的表示244

第八节 一维表示246

第九节 舒尔引理和正交关系的证明246

第十节 群SU2的表示250

练习254

第十章 环262

第一节 环的定义262

第二节 整数和多项式的形式构造263

第三节 同态与理想267

第四节 商环与环的关系272

第五节 元素的添加275

第六节 整环与分式域279

第七节 极大理想280

第八节 代数几何282

练习287

第十一章 因子分解295

第一节 整数和多项式的因子分解295

第二节 唯一因子分解整环、主理想整环与欧几里得整环297

第三节 高斯引理301

第四节 多项式的具体分解304

第五节 高斯整数环中的素元307

第六节 代数整数309

第七节 虚二次域中的因数分解314

第八节 理想因子分解317

第九节 R的素理想与素整数的关系321

第十节 虚二次域的理想类322

第十一节 实二次域328

第十二节 一些丢番图方程331

练习333

第十二章 模341

第一节 模的定义341

第二节 矩阵、自由模和基342

第三节 恒等式的不变性原理345

第四节 整数矩阵的对角化346

第五节 模的生成元与关系351

第六节 阿贝尔群的结构定理356

第七节 对线性算子的应用359

第八节 多项式环上的自由模364

练习365

第十三章 域372

第一节 域的例子372

第二节 代数元与超越元373

第三节 扩域的次数375

第四节 直尺圆规作图378

第五节 根的符号添加382

第六节 有限域384

第七节 函数域389

第八节 超越扩域396

第九节 代数闭域397

练习400

第十四章 伽罗瓦理论404

第一节 伽罗瓦理论的主要定理404

第二节 三次方程408

第三节 对称函数411

第四节 本原元415

第五节 主要定理的证明418

第六节 四次方程421

第七节 库默尔扩域425

第八节 分圆扩域426

第九节 五次方程429

练习432

附录 背景材料440

记号452

进一步阅读建议454

索引456