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第1章　极限与连续1

1.1 函数1

1.1.1 集合　常量与变量1

1.1.2 函数概念2

1.1.3　函数的几种特性5

1.1.4　反函数6

1.2　初等函数8

1.2.1　基本初等函数8

1.2.2　复合函数　初等函数10

1.2.3　双曲函数与反双曲函数11

1.3.1 数列极限的定义13

1.3　数列的极限13

1.3.2　数列极限举例15

1.3.3　收敛数列的性质16

1.4 函数的极限17

1.4.1 自变量趋于无穷大时函数的极限17

1.4.2 自变量趋于有限值时函数的极限18

1.4.3 函数极限的性质20

1.5　无穷小与无穷大21

1.5.1 无穷小21

1.5.2 无穷大22

1.6　极限运算法则23

1.7　极限存在准则 两个重要极限29

1.8　无穷小的比较34

1.9.1 函数的连续性36

1.9 函数的连续性与间断点36

1.9.2 函数的间断点38

1.10　连续函数的运算与初等函数的连续性40

1.10.1 连续函数的和、积及商的连续性40

1.10.2　反函数与复合函数的连续性40

1.10.3　初等函数的连续性41

1.11 闭区间上连续函数的性质44

1.11.1 最大值与最小值定理44

1.11.2　介值定理44

第2章　导数与微分48

2.1　导数的概念48

2.1.1 引例48

2.1.2　导数的定义49

2.1.3 函数的可导性与连续性之间的关系51

2.2　基本初等函数的导数公式52

2.3　函数和、差、积、商的求导法则55

2.3.1 函数和、差的求导法则55

2.3.2 函数乘积的求导法则55

2.3.3　函数商的求导法则56

2.4　反函数的导数　复合函数的求导法则58

2.4.1　反函数的导数58

2.4.2 复合函数的求导法则59

2.5　初等函数求导问题62

2.6　高阶导数63

2.7 隐函数的导数及由参数方程所确定的函数的导数65

2.7.1 隐函数的导数65

2.7.2 由参数方程所确定的函数的导数68

2.8.1　微分的概念70

2.8　微分的概念70

2.8.2　微分的几何意义72

2.8.3　基本初等函数的微分公式与微分运算法则72

2.9　微分的应用74

2.9.1　微分在近似计算上的应用74

2.9.2　微分在误差估计中的应用75

第3章 中值定理与导数的应用79

3.1 中值定理79

3.1.1 罗尔（Rolle）定理79

3.1.2 拉格朗日（Lagrange）中值定理80

3.1.3　柯西（Cauchy）中值定理81

3.2 洛必达（L'Hospital）法则82

3.3.1 函数的单调性86

3.3 函数的单调性与极值的判定86

3.3.2　函数的极值87

3.4　函数的最值及其应用90

3.5 曲线的凹凸性与函数图形的描绘92

3.5.1 曲线的凹凸性与拐点92

3.5.2 函数图形的描绘93

3.6　导数在经济分析中的应用95

3.6.1 成本函数 收入函数 利润函数95

3.6.2　边际分析96

3.6.3　弹性的概念98

3.7　曲线的曲率99

3.7.1 弧微分99

3.7.2 曲线的曲率100

4.1.1 不定积分的概念105

4.1　不定积分的概念、性质及基本积分公式105

第4章　不定积分105

4.1.2　基本积分公式106

4.1.3　不定积分的性质107

4.2　换元积分法109

4.2.1 第一类换元积分法（凑微分法）109

4.2.2　第二类换元积分法112

4.3　分部积分法114

4.4　积分表的使用117

第5章　定积分及其应用121

5.1　定积分的概念121

5.1.1 定积分的问题举例121

5.1.2　定积分的概念123

5.1.4　定积分的性质124

5.1.3　定积分的几何意义124

5.2　微积分基本公式126

5.2.1　积分上限函数126

5.2.2 牛顿-莱布尼茨（Newton-Leibniz）公式127

5.3　定积分的积分法129

5.3.1　换元积分法129

5.3.2　分部积分法131

5.4　定积分的应用133

5.4.1 定积分的微分法133

5.4.2　平面图形的面积134

5.4.3 平行截面为已知的立体的体积136

5.4.4　其它应用举例137

5.5　广义积分139

5.5.1 无穷区间上的广义积分139

5.5.2　无界函数的广义积分140

第6章　常微分方程143

6.1　微分方程的基本概念143

6.2　变量分离方程与变量变换146

6.2.1 变量分离方程146

6.2.2 可化为变量分离方程的两种类型148

6.3　一阶线性方程与常数变易法151

6.3.1 一阶线性微分方程的解法151

6.3.2　伯努利方程及其解法155

6.4　二阶常系数线性方程156

6.4.1 二阶常系数齐次线性方程解的叠加原理156

6.4.2　二阶常系数齐次线性方程的解法156

6.5.1 二阶常系数非齐次线性方程解的结构159

6.5　二阶常系数非齐次线性方程159

6.5.2　二阶常系数非齐次线性方程的解法160

第7章 向量代数与空间解析几何167

7.1　空间直角坐标系与向量的概念167

7.1.1 空间直角坐标系167

7.1.2 向量的基本概念及线性运算168

7.1.3 向量的坐标表示170

7.2　向量的数量积与向量积173

7.2.1 向量的数量积173

7.2.2 向量的向量积176

7.3　平面及其方程179

7.4　空间直线及其方程183

7.5 曲面与空间曲线187

7.5.1 曲面方程的概念187

7.5.2　母线平行于坐标轴的柱面188

7.5.3 旋转曲面189

7.5.4　二次曲面190

7.5.5 空间曲线及其在坐标面上的投影192

第8章 多元函数微分学198

8.1　多元函数的极限及连续性198

8.1.1 多元函数的概念198

8.1.2　二元函数的极限与连续性201

8.2　偏导数203

8.2.1　偏导数的定义及其计算方法203

8.2.2　高阶偏导数206

8.3　全微分及其应用208

8.3.1　全微分的概念208

8.3.2　全微分在近似计算中的应用210

8.4.1 多元复合函数的求导方法211

8.4　多元复合函数与隐函数的微分法211

8.4.2　隐函数求导公式216

8.5　方向导数与梯度219

8.5.1 方向导数219

8.5.2　梯度221

8.6　偏导数的应用222

8.6.1 偏导数在几何上的应用222

8.6.2 多元函数的极值226

第9章　重积分234

9.1　二重积分的概念与性质234

9.1.1　二重积分的概念234

9.1.2　二重积分的性质235

9.2　二重积分的计算236

9.2.1 利用直角坐标计算二重积分237

9.2.2 利用极坐标计算二重积分242

9.3　二重积分应用举例244

9.4　三重积分的概念及其计算247

9.4.1　三重积分的概念247

9.4.2　三重积分的计算247

9.5　三重积分应用举例252

第10章　无穷级数257

10.1　常数项级数的概念和性质257

10.1.1 常数项级数的概念257

10.1.2　收敛级数的基本性质258

10.2　正项级数的审敛法261

10.2.1 比较审敛法261

10.2.3　根值审敛法263

10.2.2　比值审敛法263

10.3　任意项级数264

10.3.1 绝对收敛与条件收敛264

10.3.2 交错级数及其审敛法265

10.4　幂级数267

10.4.1 函数项级数的概念267

10.4.2　幂级数及其收敛性267

10.4.3　幂级数的运算270

10.5 函数的幂级数展开及应用272

10.5.1 马克劳林级数272

10.5.2 函数展开成幂级数274

10.5.3 函数幂级数展开式的应用277

10.6　傅里叶级数279

11.1.1　误差289

第11章　数值分析初步289

11.1　误差与方程求解289

11.1.2 方程求解291

11.2　拉格朗日插值多项式295

11.3　最小二乘拟合300

11.4　数值积分307

11.5　常微分方程的数值解法313

第12章　Mathematica软件包318

12.1　Mathematica快速入门318

12.2　用Mathematica求极限和求微分324

12.3　用Mathematica作积分计算328

12.4　用mathematica解方程和做级数运算332

12.5　用Mathematica进行向量运算和作图336

12.6　Mathematica编程基础342

第13章　数学建模入门350

13.1　数学模型的基本概念350

13.1.1　数学模型350

13.1.2　数学建模流程350

13.1.3　数学模型的分类方法352

13.2　初等模型352

13.3　连续模型356

13.4　离散模型360

13.5　随机模型363

附录Ⅰ 常用平面曲线及其方程368

附录Ⅱ 积分表370

附录Ⅲ 习题参考答案与提示377

主要参考文献403