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第一篇 微积分1

第一章 函数·极限·连续1

一、函数1

1．有关函数概念的题型1

题型Ⅰ 判别函数的等价性1

题型Ⅱ 利用函数表示法与用什么字母表示无关的特性求解f（x）的表达式1

2．函数的性质2

题型Ⅰ 函数奇偶性的判别2

题型Ⅱ 求解给定函数的周期或周期性证明3

题型Ⅲ 函数f（x）在某区间Ⅰ上单调性的判别4

题型Ⅳ 函数有界性的判别4

3．复合函数5

二、极限6

1．数列的极限6

题型Ⅰ 已知数列的前几项数值及通项的表达式，求数列的极限6

题型Ⅱ 求解n→∞时，n项和的极限8

题型Ⅲ 求n→∞时，n项乘积的极限10

题型Ⅳ 通项为积分形式的数列的极限10

题型Ⅴ 利用子序列的极限与函数的极限等值定理，求数列极限11

2．函数的极限12

题型Ⅰ 0/0型未定式的定值法12

题型Ⅱ ∞/∞型未定式的定值法14

题型Ⅲ ∞-∞型未定式的定值法15

题型Ⅳ 0·∞型未定式的定值法16

题型Ⅴ 1∞,00,∞0型未定式的定值法17

3．无穷小的阶及极限式中常数值的确定18

题型Ⅰ 确定无穷小的阶18

题型Ⅱ 极限式中常数值的确定19

三、函数的连续性21

题型Ⅰ 函数连续性的讨论（重点）21

题型Ⅱ 确定函数的间断点及其类型22

题型Ⅲ 分段函数式中参数的确定（重点）24

第二章 导数与微分26

题型Ⅰ 利用导数定义求极限26

题型Ⅱ 利用导数定义求函数在某点处的导数27

题型Ⅲ 利用导数定义解函数方程29

题型Ⅳ 求复合函数的导数30

题型Ⅴ 隐函数微分法32

题型Ⅵ 分段函数的导数的求法（重点）33

题型Ⅶ 高阶导数的求法35

题型Ⅷ 综合题36

第三章 不定积分38

题型Ⅰ 第一换元积分法（凑微分法）38

题型Ⅱ 第二换元积分法42

题型Ⅲ 分部积分法43

题型Ⅳ 综合题46

第四章 定积分48

题型Ⅰ 利用定积分定义和性质求解的题型48

题型Ⅱ 利用变上限积分的可微性求解的题型51

题型Ⅲ 被积函数含有绝对值符号的定积分的计算54

题型Ⅳ 利用奇偶函数与周期函数的性质简化定积分计算55

题型Ⅴ 由三角有理式与其他初等函数通过四则运算或复合而成的被积函数的积分56

题型Ⅵ 被积函数中含“变上限积分”的积分57

题型Ⅶ 被积函数的分母为两项，而分子为分母中其中一项的积分57

题型Ⅷ 定积分等式的证明技巧58

题型Ⅸ 定积分不等式的证明技巧62

题型Ⅹ 定积分的杂例66

题型Ⅺ 广义积分的计算67

第五章 中值定理70

题型Ⅰ 有关闭区间上连续函数的命题的证明70

题型Ⅱ 欲证结论为f(n)（ξ）=0的命题的证法71

题型Ⅲ 欲证结论为f(n)(ξ）=k（k≠0），或由a,b,f(a),f(b),ξ,f(ξ),f(ξ),…,f(n)（ξ）所构成的代数式的证法72

题型Ⅳ 欲证结论为（a,b）内？ξ,η满足某种关系式的命题的证法75

第六章 一元微积分的应用77

一、导数的应用77

题型Ⅰ 利用导数判别函数单调增减性的方法证明不等式77

题型Ⅱ 求函数的极值与最值78

题型Ⅲ 关于方程根的研究81

题型Ⅳ 综合题84

题型Ⅴ 函数图形在区间Ⅰ上凹凸性的判别86

题型Ⅵ 渐近线类型：（1）水平渐近线；（2）铅直渐近线；（3）斜渐近线86

二、定积分的应用87

题型Ⅰ 微元法及其应用87

题型Ⅱ 平面图形面积的求法88

题型Ⅲ 求立体体积89

第七章 多元函数微分学91

题型Ⅰ 抽象的复合函数的偏导数的求法91

题型Ⅱ 多元微分学的有关证明题93

题型Ⅲ 多元函数的极值94

题型Ⅳ 综合题95

第八章 重积分98

题型Ⅰ 关于二重积分概念及其性质的命题98

题型Ⅱ 更换积分次序100

题型Ⅲ 选择积分次序101

题型Ⅳ 选择坐标系101

题型Ⅴ 分段函数的积分102

题型Ⅵ 涉及二次累次积分不等式的证明104

题型Ⅶ 综合题105

第九章 无穷级数107

题型Ⅰ 有关级数概念及性质的命题107

题型Ⅱ 正项级数∞ ∑ n=1un(un≥0）的判敛108

题型Ⅲ 任意项级数的判敛109

题型Ⅳ 有关数项级数的命题的证明111

题型Ⅴ 函数项级数∞ ∑ n=1un（x）求收敛域，幂级数求收敛域、收敛半径R113

题型Ⅵ 求函数的幂级数展开式114

题型Ⅶ 级数求和117

第十章 常微分方程120

题型Ⅰ 可求解的一阶微分方程120

题型Ⅱ 可降阶的高阶微分方程的解法124

题型Ⅲ 高阶常系数线性微分方程的解法126

第二篇 线性代数130

第一章 行列式130

题型Ⅰ 利用行列式的定义计算行列式130

题型Ⅱ 利用行列式的性质与按行（列）展开定理计算行列式131

题型Ⅲ 按行（列）展开公式求代数余子式133

题型Ⅳ 利用多项式分解因式计算行列式134

题型Ⅴ 抽象行列式的计算或证明135

题型Ⅵ 利用特征值计算行列式136

题型Ⅶ n阶行列式的计算136

题型Ⅷ 利用克莱姆法则解方程组139

第二章 矩阵140

题型Ⅰ 计算逆矩阵140

题型Ⅱ 已知含有矩阵A的等式，讨论矩阵A的可逆性142

题型Ⅲ 求解矩阵方程143

题型Ⅳ 利用矩阵结合律简化计算144

题型Ⅴ 利用伴随矩阵A进行计算或证明146

第三章 向量148

题型Ⅰ 判定向量组的线性相关性148

题型Ⅱ 已知一组向量线性无关，讨论另一组向量的线性相关性151

题型Ⅲ 把一个向量用一组向量线性表示153

题型Ⅳ 求向量组的极大无关组156

题型Ⅴ 求向量组与矩阵的秩159

题型Ⅵ 有关矩阵秩的证法163

第四章 线性方程组164

题型Ⅰ 含有参数的线性方程组的求解164

题型Ⅱ 利用方程组求向量的线性组合168

题型Ⅲ 抽象线性方程组的求解169

题型Ⅳ 求两个方程组的公共解170

题型Ⅴ 已知方程组的解，反求系数矩阵或系数矩阵中的参数172

题型Ⅵ 有关基础解系的证明174

第五章 特征值与特征向量176

题型Ⅰ 数值型矩阵特征值、特征向量的计算176

题型Ⅱ 计算抽象矩阵的特征值178

题型Ⅲ 求解特征值、特征向量的逆问题181

题型Ⅳ 矩阵相似与对角化的讨论183

题型Ⅴ 特征值、特征向量与相似矩阵的应用问题188

第六章 二次型192

题型Ⅰ 化二次型为标准形192

题型Ⅱ 已知二次型通过正交变换化为标准形，反求二次型中的参数194

题型Ⅲ 有关正定二次型（正定矩阵）命题的证明194

第三篇 概率论与数理统计初步197

第一章 事件的概率197

题型Ⅰ 利用古典概型与加法定理计算概率197

题型Ⅱ 利用条件概率与乘法公式计算概率198

题型Ⅲ 利用全概公式和逆概公式（贝叶斯公式）计算概率201

题型Ⅳ 单项选择题203

第二章 随机变量及其分布204

题型Ⅰ 一维随机变量的分布函数及分布密度204

题型Ⅱ 二维随机变量（X,Y）的分布函数及其密度209

题型Ⅲ 一维随机变量函数Y=g（X）分布律（分布密度）的求法211

题型Ⅳ 二维随机变量（X,Y）函数g（X,Y）的分布律（分布密度）的求法212

第三章 随机变量的数字特征216

题型Ⅰ 一维随机变量的数字特征216

题型Ⅱ 一维随机变量函数的数字特征219

题型Ⅲ 求二维随机变量的数字特征221

题型Ⅳ 二维随机变量（X,Y）函数Z=g（X,Y）的数字特征223

题型Ⅴ 多维随机变量数字特征的求解技巧（0-1）分布分解法简介224

题型Ⅵ 有关证明题227

第四章 大数定律和中心极限定理228

题型Ⅰ 估算随机事件的概率228

题型Ⅱ 试验次数n的确定231

题型Ⅲ 证明题232

第五章 数理统计初步234

题型Ⅰ 样本容量n，样本均值X及样本方差S2的数字特征和概率的求法234

题型Ⅱ 求抽样分布237

题型Ⅲ 统计量的点估计〈矩估计法 最大似然估计法239

题型Ⅳ 正态总体均值与方差的区间估计241

题型Ⅴ 估计量的评选标准243

题型Ⅵ 一个正态总体均值的假设检验245

题型Ⅶ 一个正态总体方差D（X）=σ2的假设检验247

题型Ⅷ 两个正态总体均值的检验248

篇后篇 单项选择题的解题技巧251

数学三 模拟试题（一）及参考答案261

数学三 模拟试题（二）及参考答案270

数学三 模拟试题（三）及参考答案278

数学三 模拟试题（四）及参考答案285

数学三 模拟试题（五）及参考答案294

数学三 模拟试题（六）及参考答案300

数学三 模拟试题（七）及参考答案308

数学三 模拟试题（八）及参考答案315

数学四 模拟试题（一）及参考答案322

数学四 模拟试题（二）及参考答案329

数学四 模拟试题（三）及参考答案337

数学四 模拟试题（四）及参考答案344

数学四 模拟试题（五）及参考答案350

数学四 模拟试题（六）及参考答案357

数学四 模拟试题（七）及参考答案363

数学四 模拟试题（八）及参考答案371

附录1 2003年硕士研究生入学考试数学试题三、四及参考答案379

附录2 2004年硕士研究生入学考试数学试题三、四及参考答案392