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第一章 绪论1

第一节 数学的认识论与数学思维1

一、从“数学是工具”谈起1

二、谈谈东方人的思维特征2

三、谈谈哲学及其认识论的深化进程3

四、数理思维与合情推理6

第二节 谈谈学习心理学7

一、关于认识过程的一点认识7

二、对学习的一点再认识9

三、关于学习的年龄特征10

第二章 数学一瞥12

第一节 数学史一瞥12

一、数学的基本生发图12

二、数学中心的迁移史13

三、数学史的几个重要阶段13

1．公元前6～公元前3世纪13

2．公元17世纪：产生了高等数学14

3．公元19世纪：产生了纯数学15

4．公元20世纪：纯数学的继续发展和应用数学的崛起17

5．应用数学与纯数学的关系史19

四、数学史鸟瞰20

五、数学从“数”到“学”的升华22

第二节 应用数学全空间认识23

一、模型化——数学的近似性23

1．两种模型化方式24

2．数学模型的近似原理25

3．分形理论欣赏25

二、精确性——数学的内部过程27

三、广义性——数学回到客观世界28

四、附：应用数学中的“流弊”辨析29

第三节 公理化一瞥30

一、古典公理化思想的产生31

1．从一个故事谈起31

2．第一次数学危机的教训31

3．数学需要公理化31

4．公理化几何的诞生32

二、现代公理系统思想的产生32

三、公理化、公理系统与形式化、形式系统的关系33

四、公理化思想（广义公理化）35

1．“定义”中的公理化方法35

2．数学理论中的定理、命题叙述都具有公理化形式36

3．一般的数学模型叙述都是公理化形式（例）36

4．一切数学学科都是公理化的38

五、公理化赞（代小结）39

第三章 数学中的几个基本特征40

第一节 数学的基本对象：集合40

一、集合认识简顾40

二、集合概念及其引申41

三、集合与空间42

四、集合元素与数学的抽象性43

1．经典数学的抽象性43

2．现代数学中元素的抽象性43

3．集合概念的运用正好符合现代数学的抽象特征44

第二节 数学的基本关系44

一、序关系44

二、运算关系46

1．数学的基本运算方法46

2．数学的基本运算形式46

3．运算方法的推广47

4．数理逻辑运算47

三、映射关系47

1．概念认识47

2．映射与函数47

第三节 数学的基本任务48

一、“解”48

二、“证”49

第四节 数学的基本结构50

一、序结构50

1．对偏序集的一般研究51

2．对偏序集的“格”研究51

3．对“没有”序关系的集合的序处理51

二、代数结构52

三、拓扑结构52

四、复合结构54

第五节 无穷的数学认识55

一、无穷的基本类型55

二、科技发展——向无穷的迈进56

三、无穷认识小史简述57

四、现代数学对无穷的认识状态简述57

1．对无穷小空间结构的认识57

2．对无穷多元的有界集认识58

第六节 数学中的“形”思维与“形”演算59

一、小序59

二、几个基本图形类型60

三、图上运算：分解作图法65

四、数学“变换”的“形”特征67

第四章 从“对偶空间”到“二象论”69

第一节 对偶空间认识69

一、具有内积特征的对偶空间概念及其推广认识69

1．线性空间的对偶概念69

2．线性空间的对偶例70

3．希尔伯特空间的对偶空间71

4．突变论欣赏例72

二、赋范空间及多重线性空间的对偶结构73

三、对偶原理及其应用78

四、系统变量、参变量与影响因素辨82

第二节 二象性原理83

一、微观世界的二象特征及其机理认识83

1．从光的波粒二象性谈起83

2．量子力学之争的实质84

3．量子世界的测不准原理84

4．关于物质可分性之争85

二、宏观世界的二象性结构85

1．相对论空间是由二象构成的85

2．形式逻辑背景空间具有二象性特征86

3．进一步的认识86

三、二象结构的普遍存在性86

第三节 对立统一律与完全空间论88

一、完全空间概念的引入88

二、完全空间中对偶二象的特征认识89

1．对偶二象的互补性89

2．完全性89

3．对立统一性89

4．完全空间的稳定性90

5．对称与守恒、破缺与涨落90

6．二象互根90

三、完全系统中二象“互动”关系的描述（几个模型例）91

1．对偶二象间涨落模型92

2．有机体对环境的适应性描述93

3．两个完全空间的相互作用例94

四、对“软科学时代”说的认识96

第四节 “系统学二象论”概述96

一、问题的引入97

二、概念介绍98

三、理论概述99

第五章 数学的逻辑范畴认识101

第一节 逻辑学概述101

第二节 形式逻辑与符号逻辑102

一、基本概念和特征102

二、形式逻辑的基本内容103

1．思维形式的研究103

2．思维规律的研究104

3．思维方法的研究105

三、形式逻辑的发展现状105

四、符号逻辑的产生106

1．符号逻辑的产生106

2．符号逻辑的类型106

第三节 数理逻辑学简要认识107

一、简要回顾107

二、基本特征107

三、主要分支108

四、基本内容109

第四节 形式逻辑的本质认识110

一、思维形式再认识110

二、思维规律（四律）认识110

1．“四律”中前三律——同一律、排中律、矛盾律，是不独立的110

2．前三律仅界定出了一个“正常思维”111

3．第四律（充足理由律）揭示了形式逻辑特征111

三、形式逻辑的一个根本规律是因果律111

四、物质宇宙的根本特征是运动111

五、物质宇宙是个动力系统111

1．先谈动力系统111

2．物质宇宙（记为X）是个本原性动力系统112

六、因果律正合物质宇宙X的动力系统特征113

七、猜测113

八、推论114

1．推论1：完全宇宙（X，X＊）＝Ω是个最大的动力系统114

2．推论2：完全宇宙是个高维空间115

九、附注115

第五节 辩证逻辑认识116

一、辩证逻辑产生的客观基础116

二、辩证逻辑简顾116

三、辩证逻辑规律117

四、辩证逻辑的本质与特征118

第六节 “数学逻辑”及其认识119

一、问题的引入119

二、数学具有逻辑学的基本特征120

三、数学还具备独有特征120

1．针对逻辑学的有限形式，数学本身即是个无限形式系统120

2．数学不只含有现代形式逻辑的特征，也含有普通形式逻辑和辩证逻辑的特征121

四、“数学逻辑”的概念界定122

五、几种主要逻辑范畴间的关系认识123

第七节 关于多值逻辑的认识124

一、概念的引入124

1．从多值逻辑到模糊逻辑124

2．不确定性问题的基本特征124

二、不确定性的存在机理125

1．形式逻辑的古典部分和近代部分125

2．形式逻辑近代部分的人为特征125

3．人为特征产生的不确定性126

三、不确定性问题的分类126

1．超逻辑不确定性问题127

2．技术性不确定问题127

3．人为性不确定问题127

四、模糊逻辑及其特征128

第六章 实数再认识129

第一节 实数认识的几个重要成果回顾129

一、算术——实数的运算性质129

二、数论——整数的组合特征130

三、数系的扩展131

1．代数途径131

2．几何途径132

四、实数的序性、稠密性和完备性考察132

1．完备性定理132

2．戴德金分割法133

五、实数的集合论认识134

1．集合论的诞生引起的两件震撼数学基础的大事134

2．公理集合论及其新的矛盾135

3．“集合论悖论”与现实生活136

第二节 实数集的宏观欣赏137

一、实数认识的四大阶段137

1．1619年前：初级阶段137

2．1619年后：高级阶段137

3．1873年后：深入阶段138

4．1965年以后：抽象阶段138

二、实轴再欣赏138

1．打油诗一首138

2．一个小故事139

三、实数集与数学的发展史141

四、方寸嵌宇宙、滴水含太阳142

五、居中原理143

第三节 实轴上一点处的欣赏145

一、分杵问题与物质结构观145

二、区间端点认识146

三、与任一实数最贴近的实数认识：稠密（粒）观与连续（流）观148

1．任给一个有理数，寻找它最靠近的有理数148

2．给定一个无理数，对其“最贴近”的数的认识149

3．任一实数的无穷小邻域都有不确定性：连续化150

第四节 实轴的结构欣赏151

一、人类仅生活在Rr的子集上151

二、Rr与Rl的比较152

三、人类的测量活动几乎都是不精确的155

第五节 实轴能认识透吗156

第七章 加乘数学：代数学认识158

第一节 代数学基本概念及其评述158

一、群、李群158

二、环与理想160

三、域、体、有限域、扩张域及Bool代数、格161

四、线性空间、模与代数161

五、张量代数162

1．外积与外形式162

2．外代数162

3．反对称张量的外积∧163

4．张量代数163

六、评述与注释163

第二节 文字代数与符号代数165

一、文字代数165

二、符号代数166

三、方程式论167

1．数系的产生167

2．因式分解169

四、方程组论170

1．线性方程组论170

2．代数几何学（高次方程组论）171

第三节 抽象代数172

一、群与近世代数学172

二、抽象代数时期：环与广义超复数系173

三、代数学时期176

四、复数的实质及在数学和代数学中的地位177

1．虚数的旋转特征177

2．复数与运动的对应关系178

3．复数系是代数的完备系统179

4．复数的进一步认识179

五、代数学特征的再认识180

第四节 加乘概念的扩展181

一、加、乘：线性与非线性的实质181

1．线性函数与线性独立182

2．非线性函数：交叉项与合作关系182

3．一般非线性函数182

二、点乘与内积，叉乘与外积183

三、∪、∩运算184

四、∧、∨运算184

1．Bool（布尔）代数中的∨、∧184

2．数理逻辑中的∨、∧185

3．格中的∨、∧概念185

五、？、？运算185

第五节 广义代数学186

一、数学的代数结构186

二、大自然的代数结构187

三、广义代数学188

第六节 小结图189

第八章 周期数学及其认识190

第一节 周期原理190

一、大自然的周期结构190

二、周期：用有限表现无穷的基本方式190

三、周期：运动的基本形式191

四、周期与循环辨191

五、周期原理192

第二节 周期函数及有关概念讨论192

一、周期函数定义及其讨论192

1．定义192

2．周期函数的定义域D（f）？G总是（正负）无穷的193

3．定义域G的类型193

4．定义域G的代数结构193

5．周期的认识194

6．周期函数的值域特征194

二、复数及复变函数的周期性195

1．复数的周期性195

2．复数域中的三角函数、双曲函数195

3．复变函数的周期性196

第三节 作为解的周期函数认识197

一、周期解与定性理论197

二、H-系统与周期轨类197

三、调和解类200

第四节 周期概念的推广、周期函数论的发展201

一、周期概念的推广201

1．拟周期201

2．概周期201

3．点周期202

4．动力系统中的类周期点集202

二、统计周期与复合周期性203

三、调和分析204

第五节 小波分析基本认识205

一、傅氏级数小史与实质206

二、f（x）的三角表达式及其条件讨论207

三、正交基与f（x）的傅氏级数208

四、傅氏变换、傅氏积分及其基本性质211

1．傅氏变换与傅氏积分211

2．傅氏变换与傅氏积分的意义212

3．傅氏变换与傅氏积分的性质213

4．傅氏变换与傅氏积分的缺点213

五、小波变换基本发展过程213

1．傅氏变换214

2．Harr小波变换214

3．Gabor窗口变换214

4．Meger小波变换215

5．多尺度分析215

第六节 周期力学217

一、振动理论认识217

二、波动理论认识219

1．概念及特性认识219

2．偏微分方程小议220

第九章 数学按其描述特征的几种类型认识223

第一节 确定性数学223

一、连续数学与离散数学223

二、计算机数学与信息科学225

三、分析数学Ⅰ：数学分析的发展227

1．小序227

2．微分概念的发展227

3．积分概念的发展229

4．函数理论的发展230

四、分析数学Ⅱ：数学推理方法的发展231

1．公式推理231

2．概念推理232

3．合情推理232

第二节 时间数学Ⅰ：t变量数学与动力系统233

一、序：时间变量与时间函数233

1．时间是特殊变量233

2．时间函数的特征233

3．时间数学的共通使命234

二、连续时间数学234

1．经典常微分方程到连续动力系统234

2．泛函微分方程236

3．流形上的常微分方程236

三、连续动力系统与混沌237

1．连续动力系统237

2．混沌（Chaos）理论238

3．多动力系统240

四、高维动力系统轨道的“一维”特征及其意义240

第三节 时间数学Ⅱ：迭代论与离散动力系统241

一、时序数据认识241

1．单一数据的信息功能241

2．两相邻数据间关系242

3．时序分析243

二、迭代论Ⅰ：系统形态序列243

三、迭代论Ⅱ：时序离散模型的建立244

1．连续动力系统的差分化244

2．根据数据模拟离散系统246

四、迭代论Ⅲ：离散动力系统246

第四节 时间数学Ⅲ：随机数学250

一、随机数学小议250

二、概率概念中的时间性251

1．概率论具有预测实质251

2．概率值中已消除了随机干扰251

3．概率p＝0，1与必然事件252

三、随机过程的时间特征252

四、统计学中的时间性253

五、时序分析学与时序认识254

第五节 不确定数学与复杂性数学257

一、关于不确定数学257

1．原始概念257

2．现代概念257

3．随机数学与模糊数学的区别257

二、模糊数学258

1．模糊数学理论的发展258

2．模糊数学的逻辑研究259

3．模糊数学的应用研究260

三、复杂性数学260

四、网络数学261

第六节 优化数学262

一、价值数学与优化数学、运筹学262

二、优化数学基本原理263

1．最值原理263

2．拉格朗日（Lagrange）条件极值原理264

3．哈密顿（Hamilton）变分原理264

4．临界点原理265

5．max-min原理265

三、求最优方案的优化数学265

1．规划论Ⅰ：线性规划266

2．规划论Ⅱ：非线性规划266

3．规划论Ⅲ：多目标规划与目的规划267

4．决策论268

5．博弈论268

6．图论269

7．排队论、储运问题及其他270

四、求最优轨道的优化数学：控制论等270

1．控制论Ⅰ：控制论通议270

2．控制论Ⅱ：动态规划272

3．控制论Ⅲ：最优控制272

第七节 均衡与和谐系统论275

一、小序275

二、代数均衡276

三、函数均衡276

四、Pareto均衡279

五、均衡增长280

1．一般的均衡增长280

2．广义的均衡增长：pt-均衡280

六、和谐系统281

第十章 数学按其空间形式的发展282

第一节 点式数学282

一、1619年前：线段数学282

1．数学三基282

2．线段数学282

3．线段数学与点式数学283

二、1619年后的点式数学283

第二节 邻域数学284

一、笛卡儿坐标概念引起的函数论与分析学284

二、坐标概念的推广285

1．直角坐标与斜坐标285

2．极坐标、球坐标、柱坐标286

3．广义坐标与局部坐标287

三、点的邻域性质认识287

四、典型的邻域数学Ⅰ：点集拓扑及拓扑学简述289

1．点集拓扑学289

2．组合拓扑学290

3．代数拓扑学291

4．微分拓扑学291

五、典型的邻域数学Ⅱ：流形上的数学292

六、邻域数学思想的应用：一个社会核拓扑模型292

第三节 空间数学293

一、数学研究中的空间手法293

1．来自集合论、代数学和线性泛函的启迪293

2．现代数学广泛的空间手法294

3．另外两种空间手法——提升手法和投影手法295

二、欧氏空间数学295

三、非欧氏空间与几何学296

四、弯空间：流形认识298

1．流形概念298

2．流形有关概念299

五、函数空间的数学：谈谈泛函301

六、关于参数空间的数学303

七、待发现微观世界的无穷小空间304

第十一章 数学按其空间形式的发展深入：无穷小论305

第一节 数学对无穷小的认识回顾306

一、无穷小对认识论、方法论的初次挑战306

1．毕达哥拉斯“有理数悖论”306

2．芝诺悖论306

3．分杵定理306

4．数学对无穷小问题的处理方式307

二、无穷小再次挑战与认识的进步307

1．微积分的诞生307

2．对微积分的认识307

三、公理集合论：人类向无穷小的一次主动挑战308

四、非标准分析：人类对无穷小的再次主动挑战308

第二节 极限论述评309

一、述评申明309

二、极限论的优越性309

1．极限论给出了又一种用有限去表述无穷的方法309

2．极限论带来了微积分方法的“算术化”310

3．极限论在微积分学上的实用效果是成功的310

三、极限论的实质310

1．极限论是一种方法、一种技术310

2．极限论对于无穷小邻域是“跳”过去的310

四、｛？ε＞0｝只是个稠密集311

五、无穷小的一个新定义311

六、在无穷小概念下极限论显出的缺陷312

1．关于Peano曲线的遍历性312

2．又一例313

3．点点连续点点不可导函数例314

4．在极限意义下，无穷小世界被处理成有序结构了315

第三节 非标准分析述评316

一、背景及其思想的引入316

二、非标准分析概要317

1．R的非标准模型及其基本事实317

2．单子论318

3．超结构及其性质319

4．内集论319

5．非标准分析应用简例319

三、非标准分析开启了真正的无穷小认识321

1．再议321

2．实质322

四、无穷小的初步性质322

五、非标准分析之不足322

第四节 来自微观世界的启示323

一、关于微观世界324

1．基本概念324

2．发展状态与基本特征324

3．研究特征：实验、数学、哲学并用325

二、微观世界的一般特征326

三、微观世界的根本特征：非牛顿空间327

四、无穷小世界与非牛顿空间的关系328

五、超弦：基本粒子论对无穷小理论的支持328

六、在微观领域数、理有必要进一步“联姻”330

第五节 客观世界的“动”机制认识330

一、从能量认识谈起331

二、能量的本质与“动”机制331

三、动机制与动邻域332

四、动邻域与高维空间334

第六节 无穷小认识与芝诺悖论解释335

一、基于第一节至第五节的几点定性认识335

1．认识无穷小有必要数、理互补335

2．无穷小世界是个新领域336

3．认识无穷小不能仅凭数理逻辑336

4．无穷小世界是个动态系统336

5．无穷小世界的运动是高速度、高频率、高曲率、高自旋的，因而是非欧空间的，且是“复值”的336

6．无穷小世界具有典型的二象性336

二、复单子：无穷小的一个模型描述337

1．条件（公理）准备337

2．＊R的一个复单子结构337

3．复单子的一个数学模型338

三、无穷小认识的应用与芝诺悖论解释339

1．应用简述339

2．芝诺悖论的解释340

第十二章 数学的二象机制揭示342

一、二象系统论简顾342

1．基本概念342

2．基本性质343

二、数系的“二象”性345

1．复数域的“完备”性与“二象”性345

2．复数中“实部、虚部”对应着运动的“平移、旋转”实质345

3．“二元数系（Abel）”理论反映的“二象”性345

三、数学空间的“二象”性346

1．关于对偶空间反映出的“二象”性346

2．上述讨论中的“线性”条件并非实质性的347

3．系统空间与数学的“二象”性347

四、一般函数中的“二象”性347

1．关于函数中参变量的实质347

2．再说系统的一般定义348

3．参变量空间即系统的虚象349

五、“几何点”的“二象”结构349

1．应该从一个新的层次上去认识几何点349

2．来自物理学的启示349

3．再谈非标准分析的突破350

4．极限论对“无穷小”认识的不足351

六、实轴结构的“二象”性351

1．从实轴的度量困难谈起352

2．实轴结构被揭示与实数集被表示的等价性352

3．公理集合论的困惑及其实质352

4．比较与启示353

5．实轴的“二象”结构猜测354

七、数学的“二象”机制猜测354

1．猜测的引入354

2．猜测的解释354

3．猜测的说明355

4．猜测的小结355

八、“二象论”的数学研究356

第十三章 现代数学与社会科学的“联姻”基础357

第一节 现代科学与现代数学特征357

一、从“现代”概念谈起357

1．“现代”的划分357

2．现代数学（学科）概念358

二、现代科学特征358

三、现代数学特征Ⅰ：泛函性359

四、现代数学特征Ⅱ：大范围分析361

五、现代数学特征Ⅲ：非线性、高维空间、不确定性和抽象化风363

第二节 社会科学特征及与现代数学的相似性363

一、社会概念、属性空间与社会丛363

1．社会的物质基底与社会的组织空间363

2．社会的属性空间364

3．社会丛364

4．社会活动364

二、社会科学的特征365

1．社会科学对象具有非几何性，因而具有非点式、非局部的和抽象的特征365

2．社会科学的映射具有拓扑特征和泛函性366

3．社会科学的横断性、综合性特征366

三、社会科学与现代数学的“联姻”前景366

第三节 社会科学与现代数学“联姻”前景的逻辑地位367

一、现代数学与现代物理的联姻事实368

二、任何学科的深入都需要数学和哲学368

三、联姻前景的分形考虑369

第四节 应用例Ⅰ：市场经济下的竞争机制370

一、社会的市场结构370

二、市场X上的竞争模型372

三、系统（13.4）′的讨论373

四、系统（13.4）′或（13.5）的参数讨论374

1．关于开源映射G375

2．关于节流映射J377

3．小结378

五、关于国企与非国企的竞争378

六、重组论379

七、竞争势及其传递效应380

1．在相空间上的｛ψn｝380

2．在完全空间Ω-上的｛ψn｝381

第五节 应用例Ⅱ：人类社会演化规律探索383

一、基础理论：系统演化的动力与能量384

1．系统的能量来源：广义自组织384

2．系统发展的动力：系统“目标”下的竞争384

二、社会的存续：广义周期性384

三、社会的进步：生产力的提高385

四、社会的演进：人性的进化385