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第一章 曲线论1

§1 向量函数1

1.1 向量函数的极限1

1.2 向量函数的连续性4

1.3 向量函数的微商5

1.4 向量函数的泰勒（Taylor）公式7

1.5 向量函数的积分8

§2 曲线的概念13

2.1 曲线的概念13

2.2 光滑曲线 曲线的正常点16

2.3 曲线的切线和法面18

2.4 曲线的弧长 自然参数22

§3 空间曲线29

3.1 空间曲线的密切平面29

3.2 空间曲线的基本三棱形32

3.3 空间曲线的曲率、挠率和伏雷内（Frenet）公式36

3.4 空间曲线在一点邻近的结构44

3.5 空间曲线论的基本定理47

3.6 一般螺线51

第二章 曲面论56

§1 曲面的概念56

1.1 简单曲面及其参数表示56

1.2 光滑曲面 曲面的切平面和法线59

1.3 曲面上的曲线族和曲线网65

§2 曲面的第一基本形式68

2.1 曲面的第一基本形式 曲面上曲线的弧长68

2.2 曲面上两方向的交角71

2.3 正交曲线族和正交轨线72

2.4 曲面域的面积73

2.5 等距变换75

2.6 保角变换78

§3 曲面的第二基本形式81

3.1 曲面的第二基本形式81

3.2 曲面上曲线的曲率87

3.3 杜邦（Dupin）指标线91

3.4 曲面的渐近方向和共轭方向93

3.5 曲面的主方向和曲率线95

3.6 曲面的主曲率、高斯（Gauss）曲率和平均曲率99

3.7 曲面在一点邻近的结构105

3.8 高斯曲率的几何意义109

§4 直纹面和可展曲面115

4.1 直纹面115

4.2 可展曲面120

§5 曲面论的基本定理130

5.1 曲面的基本方程和克里斯托费尔（Christoffel）符号131

5.2 曲面的黎曼（Riemann）曲率张量和高斯-科达齐-迈因纳尔迪（Gauss-Codazzi-Mainardi）公式134

5.3 曲面论的基本定理139

§6 曲面上的测地线145

6.1 曲面上曲线的测地曲率145

6.2 曲面上的测地线148

6.3 曲面上的半测地坐标网151

6.4 曲面上测地线的短程性154

6.5 高斯-波涅（Gauss-Bonnet）公式157

6.6 曲面上向量的平行移动160

6.7 极小曲面166

§7 常高斯曲率的曲面171

7.1 常高斯曲率的曲面171

7.2 伪球面173

7.3 罗氏几何178

第三章 外微分形式和活动标架183

§1 外微分形式183

1.1 格拉斯曼（Grassmann）代数183

1.2 外微分形式188

1.3 弗罗贝尼乌斯（Frobenius）定理198

§2 活动标架213

2.1 合同变换群213

2.2 活动标架215

2.3 活动标架法225

§3 用活动标架法研究曲面227

3.1 曲面论的基本定理227

3.2 曲面的第一和第二基本形式229

3.3 曲面上的曲线 法曲率 测地曲率和测地挠率230

3.4 曲面的主曲率 欧拉公式 高斯曲率和平均曲率233

3.5 曲面上向量的平行移动234

3.6 闭曲面的高斯-波涅公式237

第四章 整体微分几何初步242

§1 平面曲线的整体性质242

1.1 旋转数243

1.2 凸曲线250

1.3 等周不等式255

1.4 四顶点定理258

1.5 等宽曲线260

1.6 平面上的Crofton公式262

§2 空间曲线的整体性质267

2.1 Fenchel定理267

2.2 球面上的Crofton公式274

2.3 Fary-Milnor定理277

2.4 闭曲线的全挠率281

§3 曲面的整体性质285

3.1 曲面的整体定义285

3.2 曲面的一般性质290

3.3 卵形面294

3.4 完备曲面313

§4 紧致曲面的高斯-波涅公式和欧拉示性数322

4.1 紧致曲面的三角剖分322

4.2 紧致曲面的欧拉示性数324

4.3 紧致定向曲面的亏格（gerus）324

4.4 紧致曲面的高斯-波涅公式326

4.5 紧致曲面上的向量场327

名词索引333