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第一章 复数与复变函数1

1.1　复数及其运算1

1.1.1 复数及其几何表示1

1.1.2　复数的运算4

1.2　复平面上的点集10

1.3 复变函数15

1.4　复变函数的极限与连续性21

1.4.1 复变函数的极限21

1.4.2 复变函数的连续性23

1.5.1 球面投影26

1.5　扩充复平面26

1.5.2　扩充复平面28

1.6 习题30

第二章　解析函数33

2.1 解析函数的概念与柯西－黎曼条件33

2.2　初等函数43

2.2.1 指数函数43

2.2.2 三角函数46

2.2.3　对数函数48

2.2.4 一般幂函数与一般指数函数52

2.2.5 反三角函数55

2.3 习题56

第三章　复变函数的积分59

3.1　积分及其性质59

3.2　柯西定理64

3.2.1 单连通区域的柯西定理64

3.2.2 解析函数的原函数68

3.2.3 多连通区域的柯西定理71

3.3　柯西公式73

3.3.1 柯西公式73

3.3.2 解析函数的高阶导数77

3.4 调和函数83

3.5 习题87

第四章　解析函数的级数表示90

4.1　复数项级数90

4.2　复变函数项级数93

4.3　幂级数98

4.4 泰勒级数102

4.4.1 解析函数的泰勒级数102

4.4.2　解析函数的零点107

4.5 罗朗级数111

4.5.1 圆环内解析函数的罗朗展式111

4.5.2 利用罗朗展开式讨论孤立奇点117

4.6　习题123

5.1　残数的一般理论127

5.1.1　残数基本定理127

第五章　残数及其应用127

5.1.2　残数的计算129

5.1.3 函数在无穷点的残数132

5.2　利用残数计算实积分134

5.3　辐角原理及其应用140

5.4　习题149

6.1　保形映射的概念152

6.1.1 导数的几何意义152

第六章　保形映射152

6.1.2　解析函数与单叶解析函数映射特征154

6.1.3　扩充复平面上的保形映射156

6.2　关于保形映射的黎曼存在定理和边界对应原理157

6.3 线性映射159

6.3.1 线性映射的特性159

6.3.2 典型区域间的线性映射166

6.4　初等保形映射171

6.4.1　幂函数171

6.4.2　指数函数与对数函数172

6.5 习题177

7.1 含复参数函数的定积分179

第七章　含复参数函数的积分179

7.2　含复参数函数的无穷积分181

7.3 习题184

第八章　拉普拉斯变换185

8.1 拉普拉斯变换的概念及其存在定理185

8.2　拉普拉斯变换的性质189

8.3　拉普拉斯逆变换197

8.4　卷积202

8.5　微分、积分方程的拉普拉斯变换解法204

8.6　习题209

9.1 傅里叶变换的概念及其存在定理215

第九章 傅里叶变换215

9.2　傅里叶变换的性质226

9.3　卷积与相关函数231

9.4　δ-函数的傅里叶变换239

9.4.1　δ－函数及其性质239

9.4.2 δ－函数的傅里叶变换244

9.5　习题248

附录Ⅰ 拉普拉斯变换简表251

附录Ⅱ 傅里叶变换简表258

附录Ⅲ 习题参考答案262