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第一章 引论1

1.1 计算方法的研究内容1

1.2 误差基础知识2

1.2.1 误差来源与分类2

1.2.2 绝对误差和相对误差3

1.2.3 有效数字4

1.2.4 数据误差在运算中的传播6

1.3 数值计算中应注意的问题7

1.3.1 算法的数值稳定性7

1.3.2 避免误差危害的若干原则8

习题110

第二章 线性代数方程组求解方法12

2.1 向量与矩阵基本知识12

2.1.1 引言12

2.1.2 向量和矩阵13

2.1.3 特殊矩阵14

2.1.4 向量与矩阵的范数15

2.2 高斯消去法19

2.2.1 高斯顺序消去法19

2.2.2 高斯主元消去法23

2.3 矩阵的三角分解25

2.3.1 直接三角分解法26

2.3.2 平方根法30

2.3.3 解三对角方程组的追赶法33

2.4 矩阵的条件数与方程组的性态35

2.5 解线性代数方程组的迭代法41

2.6 基本迭代法43

2.6.1 雅克比迭代法（J-迭代法）43

2.6.2 高斯-赛德尔迭代法（GS-迭代法）44

2.6.3 逐次超松弛迭代法（SOR-迭代法）45

2.7 迭代法的收敛性47

2.7.1 一般迭代法的基本收敛定理47

2.7.2 J-迭代法和GS-迭代法收敛判定定理53

2.7.3 SOR-迭代法收敛性判定定理54

习题256

第三章 非线性方程求根60

3.1 二分法60

3.2 迭代法62

3.2.1 不动点迭代法62

3.2.2 不动点迭代的一般理论63

3.3 加速迭代收敛的方法67

3.3.1 两个迭代值组合的加速方法67

3.3.2 三个迭代组合的加速方法69

3.4 牛顿迭代法70

3.5 弦割法与抛物线法74

3.5.1 弦割法74

3.5.2 抛物线法78

3.6 非线性方程组零点的迭代方法80

3.6.1 实值向量函数的基本概念与性质81

3.6.2 压缩映射原理与不动点迭代法83

3.6.3 牛顿迭代法86

习题390

第四章 函数插值92

4.1 多项式插值问题92

4.1.1 代数插值问题92

4.1.2 代数插值多项式的存在性与唯一性93

4.1.3 误差估计94

4.2 拉格朗日插值法95

4.2.1 拉格朗日插值基函数95

4.2.2 拉格朗日插值多项式96

4.2.3 拉格朗日插值法截断误差及其实用估计98

4.2.4 拉格朗日反插值方法100

4.3 牛顿插值法101

4.3.1 差商的概念与性质101

4.3.2 牛顿插值公式102

4.4 等距节点插值公式104

4.4.1 差分的定义及运算104

4.4.2 差分与差商的关系105

4.4.3 等距节点插值公式106

4.5 埃尔米（Hermit）插值公式108

4.5.1 一般情形的埃尔米插值问题108

4.5.2 特殊情况的埃尔米插值问题111

4.6 分段低次插值112

4.7 三次样条插值方法114

4.7.1 三次样条插值的基本概念114

4.7.2 三弯矩插值法116

4.7.3 样条插值函数的误差估计119

习题4119

第五章 函数逼近122

5.1 内积与正交多项式122

5.1.1 权函数122

5.1.2 内积定义及性质123

5.1.3 正交性123

5.1.4 正交多项式系的性质125

5.2 常见正交多项式126

5.2.1 勒让德（Legendre）多项式系126

5.2.2 第一类切比雪夫多项式系127

5.2.3 第二类切比雪夫多项式系128

5.2.4 拉盖尔（Laguerre）多项式系129

5.2.5 埃尔米（Hermite）多项式系130

5.3 最佳一致逼近131

5.3.1 最佳一致逼近概念131

5.3.2 最佳逼近多项式的存在性及唯一性131

5.3.3 最佳逼近多项式的构造133

5.4 最佳平方逼近137

5.4.1 最佳平方逼近的概念137

5.4.2 最佳平方逼近函数s*（x）的求法137

5.4.3 正交多项式作基函数的最佳平方逼近140

5.5 曲线拟合与最小二乘法142

5.5.1 最小二乘曲线拟合问题的求解及误差分析142

5.5.2 多项式拟合的求解过程143

5.5.3 正交函数系的最小二乘曲线拟合145

5.5.4 用最小二乘法求解超定方程组147

习题5149

第六章 矩阵特征值与特征向量的数值算法151

6.1 预备知识151

6.2 乘幂法152

6.2.1 主特征值与主特征向量的计算152

6.2.2 加速收敛技术157

6.3 反幂法159

6.4 雅可比方法161

习题6165

第七章 数值积分及数值微分167

7.1 数值积分的基本概念167

7.1.1 数值求积的基本思想167

7.1.2 插值型求积公式168

7.1.3 代数精度169

7.1.4 收敛性与稳定性173

7.2 牛顿—柯特斯求积公式173

7.2.1 牛顿—柯特斯公式173

7.2.2 几个低阶求积公式175

7.3 复化求积方法177

7.3.1 复化求积公式177

7.3.2 变步长求积公式179

7.4 龙贝格求积公式181

7.4.1 龙贝格（Romberg）求积公式的推导181

7.4.2 龙贝格求积算法的计算步骤182

7.5 高斯型求积公式183

7.5.1 高斯型求积公式的理论184

7.5.2 几个常用高斯求积公式185

7.6 二重积分的求积公式191

7.7 数值微分195

7.7.1 计算数值微分的插值法195

7.7.2 计算数值微分的泰勒展开法197

7.7.3 计算数值微分的待定系数法197

习题7198

第八章 常微分方程初值问题的数值解法199

8.1 引言199

8.2 欧拉方法及其改进200

8.2.1 欧拉公式200

8.2.2 单步法的局部截断误差和阶202

8.3 龙格—库塔方法205

8.3.1 龙格—库塔方法的基本思想205

8.3.2 龙格—库塔方法的推导205

8.4 线性多步法208

8.4.1 线性多步法的基本思想208

8.4.2 线性多步法的构造210

8.5 算法的稳定性及收敛性215

8.5.1 算法的稳定性215

8.5.2 算法的收敛性217

8.6 一阶常微分方程组与高阶方程218

8.6.1 一阶常微分方程组218

8.6.2 高阶微分方程220

8.7 解微分方程的波形松弛方法222

8.7.1 微分方程初值问题的波形松弛方法222

8.7.2 微分方程初值问题波形松弛方法的收敛问题226

8.7.3 微分方程边值问题的波形松弛方法227

8.8 微分方程边值问题的数值方法231

8.8.1 打靶方法231

8.8.2 有限差分方法234

习题8236

第九章 自治微分方程稳定区域的计算238

9.1 自治微分方程的概念238

9.2 稳定边界上的平衡点240

9.3 稳定域边界的特征244

9.4 确定稳定域的一个算法247

9.5 几个系统稳定域的计算248

习题参考答案252

参考文献261