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第1章 绪论1

1.1 典型方程和定解条件的物理背景和数学描述1

1.1.1 牛顿运动定律与弦振动方程1

1.1.2 能量守恒与热传导方程5

1.1.3 静电位势与拉普拉斯方程10

1.1.4 质量守恒与连续性方程12

1.2 偏微分方程的基本概念13

1.2.1 基本概念13

1.2.2 二阶线性偏微分方程的分类14

1.2.3 线性方程的叠加原理15

1.3 定解问题的适定性16

习题117

第2章 传输方程19

2.1 一阶线性方程的特征线法19

2.1.1 一阶线性常系数偏微分方程19

2.1.2 种群分析与存货量分析20

2.1.3 一阶线性变系数偏微分方程22

2.1.4 对气体流的应用23

2.1.5 一阶线性方程解的参数形式24

2.1.6 三维一阶线性偏微分方程25

2.2 传输方程26

习题227

第3章 波动方程29

3.1 一维初值问题29

3.1.1 无界弦自由振动问题的行波法29

3.1.2 无界弦自由振动问题的傅里叶变换法32

3.1.3 依赖区间、决定区域和影响区域33

3.1.4 无界弦的强迫振动问题34

3.2 高维初值问题36

3.2.1 三维波动方程的球面平均法36

3.2.2 惠更斯原理38

3.2.3 二维波动方程的降维法与泊松公式39

3.2.4 波的弥散41

3.3 初边值问题41

3.3.1 有界弦自由振动问题的分离变量法42

3.3.2 有界弦自由振动问题的积分变换法48

3.3.3 有界弦强迫振动问题的特征函数展开法49

3.3.4 具有非齐次边界条件的定解问题54

3.3.5 圆形薄膜对称振动问题56

3.4 波动方程定解问题探究58

3.4.1 波动方程定解问题的齐次化原理58

3.4.2 半无界弦的振动问题59

3.4.3 矩形区域上波动方程的初边值问题62

3.4.4 圆形薄膜振动问题63

3.4.5 高频传输线中的电压波动问题63

3.4.6 非齐次边界条件的齐次化65

习题368

第4章 热传导方程73

4.1 一维初值问题73

4.1.1 无限长杆上初值问题的傅里叶变换法73

4.1.2 半无限长杆上初值问题的拉普拉斯变换法74

4.2 一维初边值问题76

4.2.1 无热源有限长杆上初边值问题的分离变量法义76

4.2.2 有热源有限长杆上初边值问题的特征函数展开法79

4.2.3 具有非齐次边界条件的热传导问题82

4.3 高维初边值问题84

4.3.1 圆盘上轴对称热传导问题84

4.3.2 无限长圆柱上对称热传导问题86

4.4 热传导方程定解问题探究90

4.4.1 热传导方程定解问题的齐次化原理90

4.4.2 球上径向对称热传导方程的初边值问题91

4.4.3 有限长圆柱上轴对称热传导问题92

习题494

第5章 拉普拉斯方程100

5.1 二维拉普拉斯方程的边值问题100

5.1.1 矩形域上拉普拉斯方程的分离变量法100

5.1.2 圆域上拉普拉斯方程的分离变量法103

5.1.3 二维泊松方程的特征函数展开法109

5.1.4 泊松方程的试探法111

5.1.5 上半平面拉普拉斯方程的积分变换法113

5.2 三维拉普拉斯方程的边值问题114

5.2.1 圆柱内稳定温度分布问题的分离变量法114

5.2.2 球域内稳定温度分布问题的分离变量法118

5.3 拉普拉斯方程的格林函数法121

5.3.1 拉普拉斯方程的基本解121

5.3.2 格林公式122

5.3.3 调和函数的积分表示123

5.3.4 调和函数的基本性质126

5.3.5 格林函数129

5.3.6 格林函数的基本性质132

5.3.7 上半平面的格林函数132

5.3.8 圆域上的格林函数133

5.4 拉普拉斯方程定解问题探究135

5.4.1 长方体上拉普拉斯方程的边值问题135

5.4.2 球域上拉普拉斯方程的狄利克雷外问题137

5.4.3 上半空间的格林函数138

5.4.4 球域中的格林函数139

习题5140

第6章 偏微分方程常用数学工具143

6.1 傅里叶分析143

6.1.1 正交函数系与正交级数展开143

6.1.2 傅里叶级数144

6.1.3 傅里叶积分148

6.1.4 傅里叶变换150

6.2 拉普拉斯变换154

6.2.1 拉普拉斯变换的定义155

6.2.2 拉普拉斯变换的性质156

6.3 常微分方程特征值问题160

6.3.1 常见线性常微分方程160

6.3.2 施图姆-刘维尔特征值问题162

6.4 贝塞尔方程与贝塞尔函数167

6.4.1 贝塞尔方程的无穷级数解167

6.4.2 贝塞尔函数的性质170

6.4.3 傅里叶-贝塞尔级数175

6.5 勒让德方程与勒让德多项式178

6.5.1 勒让德方程的无穷级数解178

6.5.2 勒让德多项式180

6.5.3 勒让德多项式的性质182

6.5.4 傅里叶-勒让德级数187

习题6188

参考文献193

附录 两个自变量的二阶线性偏微分方程的分类194

习题参考答案200