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目录1

第一章 矩阵与向量1

1.矩阵的定义及其线性运算1

2.矩阵的乘法4

3.矩阵乘法的几种算法9

算法1-1 二维数组存贮的实矩阵乘法9

算法1-2 一维数组存贮的实矩阵乘法10

算法1-3 同时计算行元素的实矩阵乘法11

4.向量及其线性运算12

5.向量的内积15

算法1-4 防止上溢与下溢的向量模长算法19

6.矩阵的分块运算20

第二章 向量组的秩与线性方程组的解25

1.向量的线性相关25

2.极大无关组与向量组的秩31

3.线性方程组解的存在性与唯一性33

4.矩阵的初等变换与初等矩阵35

5.n维向量空间39

第三章 方阵的行列式与逆46

1.n阶行列式的定义46

2.n阶行列式的性质49

3.行列式按一列（行）展开与Cramer法则53

4.Laplace定理与行列式的乘法定理58

5.矩阵的秩61

6.方阵的逆与正交矩阵64

7.线性方程组解的结构68

第四章 解n阶线性方程组的消去法74

1.Gauss顺序消去法75

算法4-1 Gauss顺序消去法解线性方程组系81

2.Gauss主元素消去法82

算法4-2 列主元Gauss消去法解线性方程组系85

算法4-3 全主元Gauss消去法解线性方程组系87

3.列主元Gauss-Jordan消去法89

算法4-4 列主元Gauss-Jordan消去法解线性方程组系（兼求系数矩阵的行列式值）90

4.行主元Gauss-Jordan逐行消去法91

算法4-5 行主元Gauss-Jordan逐行消去法求解高阶线性方程组96

第五章 实对称矩阵与矩阵的相似99

1.二次型与实对称矩阵99

2.矩阵的相似与特征值、特征向量102

3.规范矩阵与酉相似112

4.对称正定矩阵118

第六章 矩阵分解法求解线性方程组124

1.方阵的LU分解124

2.Doolittle分解126

算法6-1 Doolittle（LU）分解求解线性方程组系130

3.LDLT分解131

1.Jacobi方法求实对称矩阵的特征根与特征向量131

算法6-2 二维存贮的LDLT分解法求解对称线性方程组系133

4.平方根法135

算法6-3 一维存贮的平方根法求解对称线性方程组系（兼求对称系数矩阵的行列式的值）142

5.行主元LU分解法144

算法6-4 行主元LU分解法求解线性方程组系150

6.Householder变换与QR分解152

算法6-5 QR分解法求解线性方程组系158

第七章 行列式求值与方阵求逆160

1.全主元Gauss消去法求实矩阵的行列式值160

算法7-1 全主元Gauss消去法求实矩阵的行列式值161

2.行主元Gauss-Jordan消去法求逆阵163

算法7-2 行主元Gauss-Jordan消去法求逆阵（兼求行列式的值）165

3.全主元Gauss-Jordan消去法求逆阵166

算法7-3 全主元Gauss-Jordan消去法求逆阵（兼求行列式的值）168

4.对称正定矩阵求逆阵170

算法7-4 二维存贮的对称正定矩阵求逆阵175

算法7-5 一维存贮的对称正定矩阵求逆阵175

5.求极大无关组并扩充为基底176

算法7-6 求极大无关组并扩充为基底179

第八章 特征根与特征向量的计算181

算法8-1 Jacobi方法求实对称矩阵的特征根与特征向量189

2.Householder相似变换化一般实矩阵为上Hessenberg矩阵191

算法8-2 用Householder相似变换化一般实矩阵为上Hessenberg阵193

算法8-3 求（算法8-2中）把一般实矩阵化为上Hessenberg阵时的变换矩阵196

3.求实数上Hessenberg矩阵的特征根的双步QR算法197

算法8-4 双步QR算法求实上Hessenberg阵的特征根210

4.求实矩阵的特征根与特征向量213

算法8-5 双步QR算法求实上Hessenberg阵的特征根与特征向量222

第九章 矩阵的广义逆与最小二乘问题227

1.矩阵的广义逆227

2.广义逆在解线性方程组（系）上的应用232

3.广义逆在线性最小二乘问题上的应用234

4.用广义QR分解法求广义逆238

算法9-1 广义QR分解求广义逆或求线性最小二乘解249

5.广义逆法解非线性最小二乘问题252

算法9-2 广义逆法求解非线性最小二乘问题258

习题参考答案262

附录 FORTRAN-77源程序部分266

第一章 矩阵与向量266

算法1-2 一维数组存贮的实矩阵乘法269

算法1-1 二维数组存贮的实矩阵乘法269

算法1-3 同时计算行元素的实矩阵乘法269

附录 FORTRAN-77源程序部分269

算法1-4 防止上溢与下溢的向量模长算法272

第四章 解n阶线性方程组的消去法274

算法4-1 Gauss顺序消去法解线性方程组系274

算法4-2 列主元Gauss消去法解线性方程组系276

算法4-3 全主元Gauss消去法解线性方程组系278

算法4-4 列主元Gauss-Jordan消去法解线性方程组系（兼求系数矩阵的行列式值）281

算法4-5 行主元Gauss-Jordan逐行消去法求解高阶线性方程组283

第六章 矩阵分解法求解线性方程组286

算法6-1 Doolittle（LU）分解求解线性方程组系286

算法6-2 二维存贮的LDLT分解法求解对称线性方程组系288

算法6-3 一维存贮的平方根法求解对称线性方程组系（兼求对称系数矩阵的行列式的值）290

算法6-4 行主元LU分解法求解线性方程组系294

算法6-5 QR分解法求解线性方程组系297

算法7-1 全主元Gauss消去法求实矩阵的行列式值299

第七章 行列式求值与方阵求逆299

算法7-2 行主元Gauss-Jordan消去法求逆阵（兼求行列式的值）300

算法7-3 全主元Gauss-Jordan消去法求逆阵（兼求行列式的值）303

算法7-4 二维存贮的对称正定矩阵求逆阵306

算法7-5 一维存贮的对称正定矩阵求逆阵307

算法7-6 求极大无关组并扩充为基底308

第八章 特征根与特征向量的计算311

算法8-1 Jacobi方法求实对称矩阵的特征根与特征向量311

算法3-2 Househo1der相似变换化一般实矩阵为上Hessenberg阵314

算法8-3 求（算法8-2中）把一般实矩阵化为上Hessenberg阵时的变换矩阵315

算法8-4 双步QR算法求实上Hessenberg阵的特征根317

算法8-5 双步QR算法求实上Hessenberg阵的特征根和特征向量322

第九章 矩阵的广义逆与最小二乘问题332

算法9-1 广义QR分解求广义逆或求线性最小二乘解332

算法9-2 广义逆法求解非线性最小二乘问题335

参考文献341