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第三篇 多元函数微积分1

第十章 多元函数的微分法1

第一节 n维空间中的点集拓扑简介1

1．1 n维空间概念1

1．2 n维空间中点列的极限2

1．3 n维空间中点集的邻域、开集与区域4

1．4 n维空间中点集的聚点与闭集6

1．5 n维空间中开集的构造7

习题10．19

第二节 多元函数的极限与连续性10

2．1 多元函数概念11

2．2 多元函数的极限13

2．3 多元函数的连续性19

习题10．221

第三节 偏导数与全微分24

3．1 偏导数概念24

3．2 微分中值定理与增量公式28

3．3 全微分30

3．4 微分法则33

3．5 高阶偏导数33

3．6 高阶全微分35

习题10．336

第四节 复合函数的微分法38

4．1 链式法则39

4．2 一阶全微分形式不变性43

习题10．444

5．1 由一个方程确定的隐函数的微分法46

第五节 隐函数的微分法46

5．2 由方程组所确定的隐函数的微分法49

5．3 关于隐函数的存在性53

5．4 Jacobi行列式的性质55

习题10．556

第六节 方向导数与梯度59

6．1 方向导数概念59

6．2 数量场的梯度61

习题10．665

第七节 向量值函数及其微分法66

7．1 向量值函数概念67

7．2 向量值函数的极限与连续67

7．3 向量值函数的微分法68

习题10．770

第八节 多元函数的Taylor公式与极值问题71

8．1 n元函数的二阶Taylor公式71

8．2 无约束极值问题75

8．3 约束极值问题81

8．4 Lagrange乘数法83

8．5 最小二乘法86

习题10．888

第九节 多元函数微分法在几何上的简单应用90

9．1 空间曲线的切线与法平面90

9．2 曲面的切平面与法线93

习题10．995

1．1 几何形体及其度量97

第十一章 重积分与第一型曲线、曲面积分97

第一节 重积分与第一型线、面积分的概念和性质97

1．2 几何形体上的质量问题98

1．3 几何形体上的积分概念99

1．4 几何形体上的积分的性质100

习题11．1101

第二节 二重积分的计算103

2．1 二重积分的几何意义103

2．2 直角坐标系下二重积分的计算104

2．3 直角坐标系下二重积分计算公式的证明109

2．4 极坐标系下二重积分的计算111

2．5 二重积分的换元法115

习题11．2121

3．1 直角坐标系下三重积分的计算123

第三节 三重积分的计算123

3．2 三重积分的换元法128

3．3 利用柱面坐标计算三重积分130

3．4 利用球面坐标计算三重积分132

习题11．3134

第四节 第一型曲线与曲面积分的计算136

4．1 第一型曲线积分的计算136

4．2 曲面面积的计算139

4．3 第一型曲面积分的计算141

习题11．4144

第五节 重积分与第一型线、面积分的应用举例145

5．1 几何问题146

5．2 质心问题148

5．3 转动惯量问题151

习题11．5152

第六节 含参变量的积分与反常重积分153

6．1 积分限为常数的含参变量的积分154

6．2 积分限也含参变量的积分157

6．3 含参变量的反常积分159

6．4 反常重积分162

习题11．6165

第十二章 第二型曲线、曲面积分与场论初步168

第一节 第二型曲线积分168

1．1 第二型曲线积分的概念及性质168

1．2 两类曲线积分之间的关系172

1．3 第二型曲线积分的计算173

习题12．1178

第二节 第二型曲面积分180

2．1 曲面的侧向问题181

2．2 第二型曲面积分的概念及性质181

2．3 第二型曲面积分的计算185

习题12．2190

第三节 各种积分之间的关系192

3．1 Green公式192

3．2 Gauss公式198

3．3 Stokes公式202

习题12．3204

4．1 引例207

第四节 平面曲线积分与路径无关的条件207

4．2 第二型曲线积分与路径无关的条件209

4．3 势函数概念及其求法214

4．4 一阶全微分方程及其解法216

习题12．4220

第五节 场论简介222

5．1 等值面与向量线222

5．2 向量场的散度223

5．3 向量场的旋度229

5．4 几类特殊的场234

习题12．5235

第十三章 函数项级数237

第一节 函数项级数的处处收敛与一致收敛237

第四篇 函数项级数及常微分方程237

1．1 函数项级数的处处收敛性238

1．2 函数项级数的一致收敛概念239

1．3 函数项级数的一致收敛判别法241

1．4 一致收敛级数的和函数的性质243

习题13．1245

第二节 幂级数247

2．1 幂级数的收敛半径与收敛区间247

2．2 幂级数的运算251

2．3 函数展开成幂级数255

2．4 初等函数的幂级数展开256

2．5 幂级数的应用举例259

习题13．2262

第三节 Fourier级数263

3．1 三角函数系的正交性264

3．2 以2π为周期的函数的Fourier级数265

3．3 以2l为周期的函数的Fourier级数271

3．4 Fourier级数的复数形式275

习题13．3276

第十四章 常微分方程279

第一节 微分方程的几个基本问题279

1．1 引入微分方程的几个典型问题279

1．2 关于微分方程组的一些概念282

1．3 高阶方程与一阶方程组的关系284

习题14．1286

2．1 线性微分方程通解的结构287

第二节 线性微分方程与线性微分方程组通解的结构287

2．2 线性微分方程组通解的结构291

习题14．2295

第三节 高阶常系数线性微分方程的解法297

3．1 高阶常系数齐次线性微分方程的解法298

3．2 高阶常系数非齐次线性微分方程的解法302

习题14．3309

第四节 常系数线性微分方程组的解法312

4．1 常系数齐次线性微分方程组的解法312

4．2 常系数非齐次线性方程组的解法320

习题14．4324

第五节 变系数线性微分方程的解法326

5．1 Euler方程327

5．2 降阶法329

5．3 幂级数解法331

习题14．5334

第六节 微分方程应用举例336

6．1 传染病传播的数学模型336

6．2 Lanchester作战模型与硫黄岛战役340

习题14．6343

第七节 稳定性理论简介344

7．1 引例345

7．2 稳定性理论简介346

习题14．7355

第五篇 现代分析初步359

第十五章 Lebesgue积分大意359

1．1 有界开集、闭集的测度360

第一节 n维空间Rn中点集的测度360

1．2 一般有界集的测度362

1．3 无界集的测度367

1．4 可测集类367

习题15．1368

第二节 可测函数368

2．1 可测函数概念368

2．2 可测函数的性质370

习题15．2372

第三节 Lebesgue积分及其性质372

3．1 测度有限的集上有界函数的积分373

3．2 测度有限的集上一般函数的积分377

3．4 Lebesgue控制收敛定理及Fubini定理383

3．3 测度无限的集上的积分383

习题15．3386

第十六章 无穷维空间简介387

第一节 距离空间388

1．1 距离空间概念及其极限388

1．2 距离空间的完备性393

1．3 距离空间的紧致性394

习题16．1396

第二节 线性赋范空间及线性有界算子397

2．1 线性赋范空间概念397

2．2 线性有界算子400

习题16．2402

3．1 内积与内积空间403

第三节 内积空间与Fourier分析403

3．2 正交与投影定理407

3．3 标准正交系与Fourier级数408

3．4 关于Fourier级数的收敛性问题409

习题16．3412

第四节 不动点定理及其应用413

4．1 不动点概念与不动点定理413

4．2 Banach压缩映射不动点定理414

4．3 应用举例415

习题16．4417

习题答案与提示418

主要参考书464