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引言1

第一章 关联公理及顺序公理7

第一节 直线与平行线7

1.集合的模式7

2.关联公理8

3.斜投影10

4.坐标系11

第二节 顺序公理12

5.每条直线的序结构12

6.过渡公理14

7.直线对平面的分隔15

第一章练习16

第二章 仿射结构公理21

第一节 平面П上直线的仿射结构21

8.第一条仿射结构公理21

9.实数R与平面П上有原点的直线间的同构22

10.过渡公理24

第二节 (П，O)的加法群结构24

11.斜投影和平行四边形25

12.平面(П，O)的加法及其群结构26

第三节 平面的平移30

13.平移的特征30

14.群(П，O)的同构31

15.自由向量和Chasles关系31

16.平移对有向直线的作用32

17.纯量乘法的回顾和定义34

第四节 (П，O)向量空间结构34

18.斜投影的线性质35

19.向量结构定理37

20.基底和坐标，直线的方程38

21.同位相似的特征39

22.向量空间(П，O)的同构42

23.平移集上的向量空间结构42

第五节 平面的膨胀43

24.膨胀的特征43

25.膨胀群44

26.膨胀的子群45

27.П的子集的膨胀46

第六节 这一研究的延续47

28.几个研究课题47

29.斜对称48

第二章练习50

第一节 垂直52

30.垂直的公理52

第三章 度量结构公理52

31.两个方向的垂直性53

32.度量的外在仿射性质54

33.一对有同一原点的半直线的投影比55

第二节 纯量积55

34.对称公理55

35.范数和纯量积56

36.恒等式和不等式58

37.距离和纯量积的平移不变性59

38.关于平移的向量空间的纯量积61

39.平行四边形和三角形中的度量关系62

第三节 度量的基本性质62

40.正交投影66

41.垂直平分线67

42.惯性矩68

43.任一基底下的纯量积和距离69

第一节 等距变换70

44.轴对称和中心对称70

第四章 等距变换、相似、集合对称70

45.等距变换72

46.围绕一点的等距变换群75

47.偶等距和奇等距变换79

48.等距变换的结构81

第二节 相似82

49.特征性质82

50.偶相似和奇相似83

51.围绕一点的相似群85

52.相似的结构87

53.相似闭群的分类88

第三节 变换群的稳定集91

54.集合的正规性91

55.正规偶(E，δ)的构造92

56.给定集合的对称的元素93

第四章练习95

第五章 角100

第一节 角群100

57.角概念的难点100

58.定义和记号102

59.平面闭多边形角之和104

第二节 角和相似105

60.角的对称105

61.相似对一个角的变换106

62.旋转的特征107

63.相似的特征107

64.角的平分109

65.两直线构成的角110

67.П的子集的定向112

66.定向概念的困难112

第六章 定向112

68.与П相联系的其他几何元素的定向114

69.非共线半直线对定向的初步研究117

70.定向和连续形变概念之间的关系119

71.运动120

第六章练习122

第一节 初等三角125

72.一个角对于一个基的余弦和正弦125

第七章 三角125

73.旋转在一个正标准正交基中的矩阵126

74.加法公式128

第二节 角的度量129

75.定义的研究129

76.定义和直接推论131

77.R关于T的连续表示的存在性的简要证明133

78.角的算术度量135

第七章练习135

79.圆的定义和圆的对称性137

第八章 圆137

80.圆通过相似变换的象138

81.圆盘的凸性139

82.圆与直线的交140

83.圆的切线141

84.两个圆的交141

85.圆的方程142

86.圆的几个特性143

87.一点对于圆的幂145

第八章练习147

第九章 空间149

第一节 公理149

88.方法的选择149

89.三维空间公理150

90.初步推论152

第二节 空间的仿射结构153

91.带原点的空间(E，O)153

92.平移155

93.平行关系156

94.维数公理的结论157

第三节 空间的距离结构160

95.平移和垂直160

96.纯量积160

97.在两个经典定理上的应用162

98.几个研究的课题163

第九章练习164

附录1 度量基的公理系统166

99.最初的公理167

100.折迭公理(或对称公理)168

101.对于一条直线的对称168

102.垂直和投影169

103.对于一点的对称及对称积173

104.外部展开的模式175

附录2 非欧几里得几何的公理系统177

附录3 “儿童几何” 的公理系统179

附录4 角的另一种定义的说明181