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第一章 矢量法1

1.1 矢量代数和微积分1

1.1.1 矢量的线性运算1

1.1.2 矢量的乘法3

1.1.3 矢值函数5

1.1.4 矢值函数的映射性8

1.2 矢量法在微分几何上的应用17

1.2.1 度量系数17

1.2.2 Frenet公式20

1.2.3 曲面的两个基本二次型21

1.2.4 曲面上点的分类26

1.3 矢量法在场论中的应用28

1.3.1 场的概念28

1.3.2 梯度、散度、旋度以及它们之间的关系30

1.3.3 在一般的正交坐标系中，梯度、散度和旋度的表达式36

1.4 矢量法在力学上的应用42

1.4.1 质点运动的速度和加速度42

1.4.2 Kepler三大定律44

1.5 n维矢量空间的概念48

1.6 矢量法与多元函数条件极值的Lagrange乘数法50

第二章 张量54

2.1 张量的概念54

2.1.1 张量的一些实例54

2.1.2 协变换和逆变换61

2.1.3 张量的定义63

2.1.4 协变和逆变法则的张量特征64

2.2 张量的代数运算及一些特殊张量72

2.2.1 张量的代数运算72

2.2.2 对称张量与反对称张量74

2.2.3 相对张量74

2.2.4 度量张量78

2.2.5 伴随张量79

2.3 C(Christoffel)符号及其变换式82

2.3.1 C符号82

2.3.2 C符号的变换91

2.4 张量的协变微分法92

2.4.1 协变导数的定义92

2.4.2 协变导数的运算法则96

2.4.3 绝对微分98

2.4.4 R-C(Riemann-Christoffel)张量101

2.4.5 Ricci张量、Bianchi恒等式、Einstein张量105

2.4.6 Riemann空间与Euclid空间106

2.5 e-系统和广义的δ108

2.5.1 e-系统和广义δ的定义108

2.5.2 e-系统对行列式的应用以及广义δ的张量特征110

2.6.1 曲面上一曲线弧的微分及二曲线的夹角114

2.6 张量在几何学上的应用114

2.6.2 互逆基底115

2.6.3 关于协变导数的几何意义117

2.6.4 空间曲线几何118

2.6.5 曲面的几何122

2.6.6 测地线126

2.6.7 R.C张量和Gauss曲率129

2.7 场论中三个度的张量表达式130

2.8 张量在力学中的应用134

2.8.1 质点运动方程、功和能量134

2.8.2 广义坐标的Lagrange方程142

2.8.3 变形分析146

2.8.4 应力状态分析154

2.9 张量在电动力学中的应用158

2.9.1 电磁现象里的相对性原理158

2.9.2 电磁场张量160