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第1章 概论1

1.1 随机过程的基本特点1

目录1

1.2 随机过程的研究范围2

1.3 随机过程的分类方法（1）2

1.4 随机过程的示例3

1.5 随机过程的数字特征及基本概念4

1.6 随机过程的分类方法（2）6

1.7 习题7

2.1 相关函数9

第2章 平稳过程与二阶矩过程9

2.2 功率谱14

2.3 功率谱与时域平均15

2.4 线性系统18

2.4.1 平均值和自相关18

2.4.2 功率谱19

2.5 随机连续性22

2.5.1 引言22

2.5.2 平均值的连续性23

2.6 随机微分（均方意义）23

2.6.1 关于微分运算的性质24

2.6.2 平稳过程的微分特性25

2.7 Taylor级数25

2.8 随机微分方程26

2.9 随机积分27

2.10 遍历性讨论28

2.10.1 平均值的遍历性28

2.10.2 自相关的遍历性31

2.10.3 分布函数的遍历性32

2.11 抽样定理与随机预测33

2.11.1 随机过程抽样定理33

2.11.2 信号的随机预测34

2.12 习题35

第3章 离散鞅论38

3.1 条件概率38

3.1.1 条件概率的物理解释38

3.1.2 条件概率的性质39

3.2 鞅的定义与基本性质40

3.3 鞅的举例与基本构造方法41

3.3.1 鞅的示例41

3.3.2 关于鞅的构造方法47

3.4.2 上、下鞅的基本性质48

3.4 上鞅、下鞅的定义及基本性质48

3.4.1 基本定义48

3.5 Jensen不等式与下鞅的构造49

3.6 分解定理49

3.7 停时与停时定理52

3.7.1 停时的基本概念52

3.7.2 几个基本的停时定理53

3.7.3 停时定理的证明54

3.7.4 停时定理的应用57

3.8 关于停时的Wald恒等式58

3.9 上穿不等式及应用59

3.10 极大值不等式与Doob定理62

3.10.1 Markov不等式62

3.10.2 Chernoff界62

3.10.3 极大值不等式62

3.10.4 最大值估计定理64

3.11 鞅论的应用（1）65

3.11.1 三人赌博问题65

3.11.2 关于对称随机移动67

3.12 Azuma不等式68

3.13 Azuma不等式的推广72

3.14 鞅论的应用（2）73

3.14.1 Azuma不等式在古典概率估计中的应用73

3.14.2 无线Ad Hoc网络中网络编码的容量计算75

3.15 连续鞅论介绍77

3.16 习题78

第4章 Poisson过程与更新过程81

4.1 Poisson过程的定义81

4.2 Poisson过程的基本性质83

4.3 Poisson过程与指数分布的关系84

4.4 到达时间的条件分布88

4.5 Poisson过程的分流94

4.6 非时齐Poisson过程95

4.7 复合Poisson过程96

4.7.1 复合Poisson过程的定义96

4.7.2 复合Poisson恒等式98

4.8 条件Poisson过程99

4.9 双重随机Poisson过程101

4.10 更新过程102

4.11 更新函数的性质与应用104

4.12 更新过程的剩余寿命与年龄108

4.13 Wald等式111

4.14 习题113

第5章 Brown运动118

5.1 Brown运动的概念118

5.2 正态分布的有关理论119

5.2.1 Cauchy分布与正态随机变量119

5.2.2 区域分布与互相关系数的关系120

5.2.3 Bayes定理与条件分布密度表示理论121

5.2.4 联合正态分布的边缘分布密度与条件分布密度122

5.2.5 几个基本关系式123

5.2.7 零交叉问题124

5.2.6 反正弦率124

5.2.8 正态分布的拖尾概率估计—…Mill比值126

5.3 随机移动和Brown运动127

5.4 Brown运动的有限维联合概率密度128

5.5 Brown运动的性质129

5.5.1 Brown运动的Markov性130

5.5.2 正态过程132

5.5.3 反射性133

5.5.4 时间可逆性133

5.6 最大值与首中时的分布特性134

5.7 过零点的反正弦定理138

5.8 Brown运动的推广140

5.8.1 带吸收点的Brown运动140

5.8.2 原点反射的Brown运动141

5.8.3 几何Brown运动142

5.8.4 Brown运动的积分142

5.8.5 Brown运动的形式导数142

5.9 Brown桥与经验分布143

5.9.1 Brown桥的基本概念与性质143

5.9.2 经验分布与Brown桥的关系144

5.9.3 经验分布的误差估计146

5.10 带漂移的Brown运动147

5.10.1 移出区间的概率计算147

5.10.2 首中时问题148

5.11 Brown运动的轨道性质150

5.12 N维Brown运动152

5.12.1 N维Brown运动的定义与性质152

5.12.2 二维Brown运动的从属过程153

5.12.3 辐射型Brown运动153

5.13 习题154

6.2 基本概念157

6.1 引言157

第6章 Markov链157

6.3 转移概率矩阵161

6.4 Markov链状态的分类163

6.4.1 关于Markov链状态的一些基本定义163

6.4.2 一些基本关系式163

6.4.3 状态之间的等价关系169

6.5 状态空间的分解172

6.6 极限特性与平稳分布174

6.6.1 极限特性175

6.6.2 平稳分布177

6.6.3 平衡方程及其应用181

6.7 转移矩阵的平均极限185

6.8 有限状态不可约Markov链平稳分布的矩阵计算186

6.9 吸收概率的计算188

6.9.1 非常返状态子矩阵的特性189

6.9.2 从非常返态到吸收态转移概率的计算189

6.9.3 从非常返态到吸收态转移时间的计算190

6.10 Metropolis抽样算法193

6.10.1 Metropolis抽样算法的描述193

6.10.2 Metropolis抽样算法的理论分析194

6.11 习题195

7.1 定义与基本概念201

第7章 连续参数Markov链201

7.2 转移率矩阵：Q矩阵与其概率意义202

7.3 Q矩阵的计算202

7.4 Kolmogorov前向后向微分方程206

7.5 平稳分布与极限分布及其矩阵计算207

7.5.1 极限分布存在性208

7.5.2 平稳分布及其矩阵计算210

7.6 平稳分布的计算与应用212

7.7.1 引言与工程问题示例218

7.7 一致性规则与强Markov链218

7.7.2 强Markov过程219

7.7.3 指数分布与嵌入Markov链的应用222

7.7.4 连续Markov链的一致性规则224

7.8 Q过程的一致性处理226

7.9 有限状态不可约连续Markov链的计算机仿真227

7.10 平稳分布与时间可逆性228

7.11 时间可逆过程在排队论中的应用230

7.12 习题231

参考文献235