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第1章 集合论基础1

1.1 集合的基本概念与运算1

1.1.1 集合的基本概念1

1.1.2 集合的运算2

1.1.3 上限集、下限集及集列的极限2

1.2 映射与集合的势5

1.2.1 映射的基本概念5

1.2.2 映射的运算6

1.2.3 集合的特征函数6

1.2.4 映射的延拓7

1.2.5 集合的势8

习题10

第2章 测度论12

2.1 环上的测度12

2.1.1 环、σ-环、代数、σ-代数12

2.1.2 测度及其基本性质15

2.2 Lebesgue测度17

2.2.1 环R0上的测度17

2.2.2 外测度m＊19

2.2.3 Lebsgue测度19

2.2.4 Borel集23

2.3 可测集与可测函数27

2.3.1 可测集、可测函数27

2.3.2 可测函数的性质28

2.3.3 可测函数的极限31

2.3.4 Lebsgue积分34

习题35

第3章 赋范线性空间38

3.1 赋范线性空间与Banach空间38

3.1.1 赋范线性空间38

3.1.2 Banach空间41

3.1.3 范数的等价、紧集43

3.1.4 有限维赋范线性空间43

3.2 赋范线性空间上的连续线性算子46

3.2.1 线性算子46

3.2.2 连续线性算子48

3.2.3 有界线性算子空间50

3.3 不动点理论51

3.3.1 压缩映射与不动点定理51

3.3.2 不动点理论的应用55

习题59

第4章 内积空间62

4.1 内积与内积空间、Hilbert空间62

4.1.1 内积与内积空间62

4.1.2 由内积导出的范数64

4.2 正交与投影67

4.2.1 正交与投影的基本概念67

4.2.2 投影定理70

4.2.3 投影定理的应用72

4.3 正交系与Fourier级数76

4.3.1 正交系与标准正交系76

4.3.2 Fourier级数78

习题81

第5章 泛函分析中的几个重要定理84

5.1 Baire纲定理与共鸣定理84

5.1.1 Baire纲定理84

5.1.2 共鸣定理87

5.1.3 共鸣定理的应用92

5.2 开映射定理与泛函延拓定理95

5.2.1 开映射定理95

5.2.2 泛函延拓定理99

5.3 逆算子定理与闭图像定理103

5.3.1 逆算子定理103

5.3.2 闭图像定理105

习题107

第6章 拓扑空间109

6.1 拓扑空间与连续映射109

6.1.1 拓扑空间109

6.1.2 邻域、邻域系与拓扑基112

6.1.3 聚点、闭集与极限113

6.1.4 连续映射与同胚116

6.2 紧致性与连通性118

6.2.1 紧致性118

6.2.2 连通性120

6.3 可数公理与分离公理122

6.3.1 可数公理123

6.3.2 分离公理125

习题128

符号注释表131

名词索引133

参考文献140