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第1章　集合1

1.1　集合的基本概念1

1.1.1　集合的表示方法1

1.1.2　子集2

1.1.3　全集和补集3

1.1.4　幂集3

习题4

1.2　集合的基本运算5

1.2.1　并和交5

1.2.2　差和对称差8

习题12

1.3　包含排斥原理13

习题17

第2章　二元关系18

2.1　二元关系及其表示形式18

2.1.1　引言18

2.1.2　集合的笛卡儿乘积19

2.1.3　二元关系的三种表示方法21

习题24

2.2　二元关系的基本类型与判定方法24

2.2.1　关系的基本类型25

2.2.2　可传递性的判定方法27

习题32

2.3　等价关系、相容关系和偏序关系33

2.3.1　等价关系的定义33

2.3.2　等价关系的特征33

2.3.3　等价类和商集35

2.3.4　集合的划分36

2.3.5　相容关系37

2.3.6　覆盖和完全覆盖38

2.3.7　相容类和最大相容类38

2.3.8　偏序关系40

习题44

2.4　复合关系、逆关系和关系的闭包运算46

2.4.1　复合关系46

2.4.2　逆关系50

2.4.3　关系的闭包运算51

习题53

第3章　函数54

3.1　函数的定义与特殊函数54

3.1.1　函数的定义54

3.1.2　特殊函数55

习题57

3.2　复合函数与逆函数58

习题66

第4章　代数结构67

4.1　代数系统67

4.1.1　代数系统的基本概念67

4.1.2　特殊运算与特殊元素69

4.1.3　同构75

4.1.4　同态79

习题84

4.2　半群与独异点85

4.2.1　半群与子半群85

4.2.2　独异点与子独异点91

习题94

4.3　群95

4.3.1　群的定义95

4.3.2　群的性质98

习题102

4.4　子群104

4.4.1　子群的定义104

4.4.2　群中元素的阶数105

习题110

4.5　循环群111

4.5.1　循环群的定义111

4.5.2　循环群的性质112

习题116

4.6　置换群116

习题123

4.7　陪集和拉格朗日定理123

4.7.1　陪集124

4.7.2　拉格朗日定理124

习题131

4.8　群同态131

4.8.1　同余关系与商代数131

4.8.2　同余与同态136

4.8.3　群的同态与同余139

习题150

4.9　群码151

4.10　环和域155

4.10.1　环155

4.10.2　域160

习题161

4.11　格和布尔代数162

4.11.1　格的定义162

4.11.2　格和偏序集164

4.11.3　分配格、有界格和有补格168

4.11.4　布尔代数173

习题177

第5章　图论178

5.1　图的基本概念178

5.1.1　图的基本类型178

5.1.2　图中顶点的度数179

5.1.3　完全图181

5.1.4　子图181

5.1.5　图的矩阵表示182

5.1.6　图的同构183

5.1.7　补图184

习题188

5.2　图的连通性和赋权图的最短通路189

5.2.1　通路与回路189

5.2.2　图的连通性190

5.2.3　赋权图的最短通路193

习题201

5.3　树202

5.3.1　无向树202

5.3.2　有向树204

5.3.3　周游算法206

5.3.4　前缀码与最优树208

习题214

5.4　欧拉图与哈密顿图215

5.4.1　欧拉图215

5.4.2　哈密顿图218

习题226

5.5　二部图和平面图228

5.5.1　二部图228

5.5.2　平面图231

习题242

第6章　命题逻辑243

6.1　命题与联结词243

6.1.1　命题243

6.1.2　联结词244

习题248

6.2　真值表与逻辑等价249

6.2.1　真值表249

6.2.2　逻辑等价249

6.2.3　代换规则251

6.2.4　对偶原理253

习题253

6.3　范式254

6.3.1　析取范式和主析取范式254

6.3.2　合取范式和主合取范式258

习题262

6.4　永真蕴含式263

习题266

6.5　推理理论266

6.5.1　前提与有效结论266

6.5.2　直接证明法268

6.5.3　间接证明法268

习题271

第7章　谓词逻辑273

7.1　谓词逻辑的基本概念273

7.1.1　谓词与命题函数273

7.1.2　量词275

7.1.3　谓词合式279

7.1.4　约束元和自由元279

习题281

7.2　等价式与永真蕴含式282

7.2.1　等价式282

7.2.2　前束范式284

7.2.3　永真蕴含式285

习题287

7.3　谓词演算的推理理论287

习题290

参考文献291