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译者序1

第一部分 圆的极小性质1

1. Steiner的四连杆法1

2. 存在问题3

3. 多角形的面积5

4. 四连杆法对于多角形的应用8

5. 多角形的存在证明10

6. 等边多角形和三角法的表示式14

7. 曲线的弧长23

8. 曲线按多角形的逼近26

9. 有界跳跃函数29

10. 闭曲线的面积31

11. 平面等周问题的解33

12. 一些应用36

13. 关于积分概念39

14. 历史性的文献42

第二部分 球的极小性质50

15. Steiner的证法50

Ⅰ. 问题的提出50

Ⅱ. Steiner的对称化51

Ⅲ. 对Steiner证法的批判53

16. 凸体和凸函数55

Ⅰ. 双变量的凸函数55

Ⅱ. 一个凸体通过一些不等式的确定57

Ⅲ. 单变量的凸函数59

Ⅳ. 支持直线、支持平面60

Ⅴ. 一个点集的凸包、凸多面体62

Ⅵ. 支持函数63

17. 体积和表面积64

Ⅰ. 多面体的体积和表面积64

Ⅱ. 通过多面体的逼近64

Ⅲ. 任何凸体的体积和表面积的定义66

Ⅳ. 收敛的凸体序列68

Ⅴ. 体积与表面积的连续性69

18. Bolzano-Weierstrass关于凝聚点存在定理的一个拓广71

Ⅰ. 凸体的选择定理71

Ⅱ. Cantor的对角线法72

Ⅲ. 所选序列的收敛性73

Ⅳ. 和以前收敛定义的相一致性74

Ⅴ. 收敛概念的第二种表示76

Ⅰ. 收敛凸体序列的对称化78

19. 对称化78

Ⅱ. 对体积和表面积的作用80

Ⅲ. 逼近多面体的对称化82

Ⅳ. Hǒlder中值定理的应用83

Ⅴ. 上述估值的引进85

Ⅵ. H.A.Schwarz的不等式86

Ⅶ. 表面积的缩小88

Ⅷ. 球的等周性质90

20. 一些补充注记91

Ⅰ. 论对凸的对照体的限制91

Ⅱ. 关于二重积分的存在性94

Ⅲ. “凸体”和“凸函数”等概念95

Ⅰ. H.A.Schwarz的构造法99

21. Schwarz的构造法和Brunn的定理99

第三部分 凸体论中的Schwarz,Brunn和Minkowsdi的诸定理99

Ⅱ. 收敛性证明101

Ⅲ. 关于重心102

Ⅳ. H.Brunn的一个定理104

Ⅴ. H.A.Schwarz的一个定理106

22. Brunn和Minkowski定理106

Ⅰ. 凸体的线性族和凸性族106

Ⅱ. 凸性族的对称化109

Ⅲ. 一个线性族的凸体体积有关的Brunn定理的证明111

Ⅳ. 线性族的对称化112

Ⅴ. Minkowski对Brunn定理的补充115

Ⅵ. Minkowski不等式116

Ⅶ. 对M2-4π0？0的第二证明118

Ⅰ. 文献119

23. 补充事项119

Ⅱ. Wirtinger的引理121

Ⅲ. 应用122

Ⅳ. Wirtinger引理在球面上的拓广124

Ⅴ. 关于表面积的Minkowski公式126

Ⅵ. 凸泛函128

第四部分 凸体极值中的新课题131

24. 在一个凸曲面内可无滑动地滚转的最大球的决定131

Ⅰ. 整体微分几何131

Ⅱ. 一凸曲线的最小和最大密切圆132

Ⅲ. 曲面曲率有关的Euler公式的一个对偶对象135

Ⅳ. 空间课题的解136

Ⅰ. 问题的提出和归结到的旋转面138

25. 凸曲面所应受到的曲率限制138

Ⅱ. Schwarz构造法的应用139

Ⅲ. 直径的不变性140

Ⅳ. Bieberbach的一个定理142

Ⅴ. 总曲率在对称化中的抑制143

Ⅵ. 总曲率在极限过程中的抑制146

Ⅶ. 为对旋转面的证明而作的一些准备149

Ⅷ. 纺锤形的常总曲率旋转面150

Ⅸ. 一些成果153

Ⅹ. O.Eonnet的一个定理155

26. 对曲率的其它限制157

Ⅰ. 问题的提出和其到旋转面的归结157

Ⅱ. 硬化的性质158

Ⅲ. 支持函数的微分几何160

Ⅳ. 总曲率在硬化中的抑制163

Ⅴ. 干酪形的常总曲率旋转面164

Ⅵ. 平均曲率在硬化中的抑制167

附录 关于凸体的其他研究的瞭望170

Ⅰ. 凸体垂足的面积170

Ⅱ. 凸体垂足的周长172

Ⅲ. Minkowski的常幅体173

Ⅳ. 常亮度的体175

Ⅴ. 有心凸体的积分表示177

Ⅵ. 有心卵形面有关的公式179

Ⅶ. 椭球在卵形面中的特征181

Ⅷ. 一条凸闭曲线的顶点的最少个数184

Ⅸ. 关于卵形面微分几何其他186