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11 数项级数1

11.1 数项级数的概念、性质1

11.1.1 数项级数的定义及其敛散定义1

11.1.2 级数收敛的Cauchy准则2

11.1.3 收敛级数的性质3

11.2 正项级数4

11.2.1 正项级数收敛的基本定理4

11.2.2 正项级数收敛的充分条件(比较判别法)5

11.2.3 正项级数的若干具体的判别法7

11.3 任意项级数14

11.3.1 绝对收敛与条件收敛14

11.3.2 交错级数及Leibniz判别法16

11.3.3 Abel与Dirichlet判别法17

11.3.4 更序级数19

11.3.5 收敛级数的乘积21

11.4 习题22

12.1 无穷积分29

12.1.1 无穷积分的概念29

12 反常积分29

12.1.2 无穷积分的性质30

12.1.3 无穷积分收敛的判别法32

12.2 瑕积分35

12.2.1 瑕积分的概念35

12.2.2 瑕积分的性质37

12.2.3 瑕积分收敛的判别法37

12.3 习题40

13.1 基本概念45

13 函数项级数45

13.1.1 点态收敛46

13.1.2 一致收敛49

13.2 一致收敛判别法51

13.3 一致收敛函数列(函数项级数)的性质54

13.4 习题59

14 幂级数66

14.1 幂级数的概念66

14.1.1 收敛区间与收敛半径66

14.1.2 收敛域的特性67

14.2.1 内闭一致收敛性68

14.2 幂级数的性质68

14.2.2 和函数的连续性、逐项积分与逐项微分69

14.3 函数的幂级数展开70

14.3.1 函数的Taylor级数与Maclaurin级数70

14.3.2 函数的Taylor展开72

14.4 习题74

15 Fourier级数79

15.1 Fourier级数概念引进79

15.1.1 三角函数系的正交性79

15.1.2 Fourier系数80

15.2 Fourier级数的收敛性81

15.2.1 Dirichlet积分81

15.2.2 局部性定理83

15.2.3 Dini定理及其推论84

15.2.4 Dirichlet-Jordan判别法87

15.3 函数的Fourier级数展开89

15.3.1 周期为2π的函数的Fourier展开式89

15.3.2 周期为T的函数的Fourier展开式92

15.4.1 逐项积分93

15.3.3 Fourier级数的复数形式93

15.4 Fourier级数的逐项积分与逐项微分93

15.4.2 逐项微分95

15.5 最佳平方逼近、Bessel不等式96

15.6 习题98

16 多元函数的极限与连续105

16.1 n维欧氏空间上的点集与多元函数105

16.1.1 n维欧氏空间上的点集105

16.1.2 Rn上的若干基本定理113

16.1.3 多元函数与向量值函数116

16.2 多元(向量值)函数的极限与连续120

16.2.1 多元(向量值)函数的极限120

16.2.2 重极限与累次极限123

16.2.3 多元(向量值)函数的连续126

16.2.4 紧集上的连续函数的性质131

16.2.5 连通集上的连续函数的性质133

16.3 习题135

17 多元函数微分学142

17.1.1 基本概念143

17.1 函数可微与可导143

17.1.2 基本性质145

17.1.3 运算法则153

17.1.4 拟微分中值定理157

17.1.5 梯度158

17.1.6 高阶偏导数160

17.2 Taylor公式、极值167

17.2.1 Taylor公式167

17.2.2 极值169

17.3 习题174

18 隐函数定理、微分学应用179

18.1 隐函数定理与反函数定理179

18.1.1 隐函数定理179

18.1.2 反函数定理187

18.2 方程变换190

18.3 多元函数微分学的应用194

18.3.1 切向量194

18.3.2 曲线的切线与法平面195

18.3.3 曲面的切平面与法线200

18.3.4 条件极值问题203

18.4 习题207

19 含参变量积分211

19.1 一致极限212

19.2 含参变量定积分214

19.3 含参变量无穷积分220

19.3.1 含参变量无穷积分的一致收敛性及其判别法220

19.3.2 一致收敛含参变量无穷积分的性质222

19.3.3 含参变量无穷积分的计算举隅227

19.4 Euler积分230

19.4.1 Г函数231

19.4.2 B函数232

19.5 习题233

20 重积分238

20.1 二重积分238

20.1.1 有界闭矩形上的二重积分238

20.1.2 有界闭矩形上函数的可积性问题240

20.1.3 零面积集242

20.1.4 有界集上的二重积分245

20.1.5 二重积分化为累次积分248

20.1.6 二重积分的变量替换252

20.2 三重积分255

20.2.1 三重积分化为累次积分256

20.2.2 三重积分的变量替换260

20.3 重积分在力学上的应用263

20.3.1 质心263

20.3.2 矩265

20.3.3 引力265

20.4 习题267

21 第一类线面积分274

21.1 第一类曲线积分274

21.1.1 第一类曲线积分的概念与性质274

21.1.2 第一类曲线积分的计算278

21.2 第一类曲面积分283

21.2.1 曲面面积283

21.2.2 第一类曲面积分的概念与计算290

21.3 习题293

22.1 第二类曲线积分(对坐标的曲线积分)296

22.1.1 第二类曲线积分的概念与性质296

22 第二类线面积分296

22.1.2 第二类曲线积分的计算300

22.1.3 两类曲线积分之间的联系306

22.2 Green公式307

22.2.1 平面闭曲线的定向307

22.2.2 Green公式308

22.2.3 平面上的第二类曲线积分与路径无关性313

22.3 第二类曲面积分(对坐标的曲面积分)318

22.3.1 曲面的侧318

22.3.2 第二类曲面积分的概念321

22.3.3 第二类曲面积分的计算325

22.4 Gauss公式330

22.4.1 通量、散度330

22.4.2 Gauss公式333

22.5 Stokes公式337

22.5.1 环量、方向旋量、旋度337

22.5.2 Stokes公式340

22.5.3 空间中的第二类曲线积分与路径无关性345

22.6 习题348

附录 外微分简介356