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第1章　数值计算中的误差分析1

1.1　数值计算的对象、任务与特点1

1.2　误差与数值计算的误差估计2

1.2.1　误差的来源与分类2

1.2.2　误差与有效数字4

1.2.3　数值计算的误差估计8

1.3　选用和设计计算方法时应遵循的原则10

1.3.1 选用数值稳定的计算公式，控制舍入误差的传播10

1.3.2　尽量简化计算步骤以便减少运算次数12

1.3.3　尽量避免两个相近的数相减13

1.3.4 绝对值太小的数不宜作除数14

1.3.5　合理安排运算顺序，防止大数吃掉小数14

1.3.6　算法与程序设计实例15

习题18

第2章　插值与逼近20

2.1　插值概念20

2.1.1　插值定义20

2.1.2　插值函数的存在唯一性21

2.2.1 多项式插值25

2.2　多项式插值、单节点插值的Lagrange型公式25

2.2.2 单节点多项式插值的Lagrange型公式26

2.2.3 多项式插值的误差28

2.3　单节点多项式插值的Newton型公式32

2.3.1 差商、差商表32

2.3.2 单节点多项式插值的Newton型公式33

2.4　差分与等距节点插值公式36

2.4.1　差分及其性质36

2.4.2 等距节点的多项式插值的Newton型公式37

2.5.1 Hermite插值41

2.5　Hermite插值41

2.5.2　二重Hermite插值多项式42

2.6　分段低阶插值45

2.6.1　Runge现象45

2.6.2　分段线性插值46

2.6.3　分段三次Hermite插值47

2.7　三次样条插值49

2.7.1 三次样条函数与三次样条插值49

2.7.2 三次样条插值的m关系式50

2.7.3 三次样条插值的M关系式53

2.7.4　样条插值求解55

2.7.5　样条插值的极性及收敛性57

习题60

第3章　矩阵与线性代数方程组63

3.1　一般线性代数方程组的直接解法64

3.1.1 高斯消去法64

3.1.2 选主元68

3.1.3 高斯—约当消去法71

3.2.1　三对角方程组72

3.2　带型方程组72

3.2.2　一般带型方程组75

3.2.3　压缩存储下带型方程组的求解77

3.3　线性代数方程组的迭代解法79

3.3.1　简单迭代法79

3.3.2 高斯—赛德尔迭代法84

3.3.3　松弛法86

3.4　共轭梯度法87

3.4.1　几个基本概念88

3.4.2　共轭梯度法89

3.5.1　矩阵的三角分解97

3.5　矩阵分解97

3.5.2 矩阵的QR分解103

3.6　矩阵求逆109

3.6.1　原地工作的矩阵求逆110

3.6.2　全选主元矩阵求逆115

3.7　托伯利兹系统116

3.7.1　托伯利兹矩阵求逆的快速算法117

3.7.2 求解托伯利兹型线性代数方程组的递推算法124

习题128

4.1.1 引言131

4.1　方程求根与二分法131

第4章　非线性方程求解131

4.1.2　二分法132

4.2　迭代法及其收敛性134

4.2.1 不动点迭代法134

4.2.2 不动点的存在性与迭代法的收敛性137

4.2.3　局部收敛与收敛阶139

4.3　迭代收敛的加速方法142

4.3.1　埃特金加速收敛方法142

4.3.2　斯蒂芬森迭代法143

4.4.1 牛顿法及其收敛性145

4.4　牛顿法145

4.4.2 牛顿法应用举例148

4.4.3 简化牛顿法与牛顿下山法149

4.4.4　重根情形151

4.5　弦截法与抛物线法153

4.5.1 弦截法153

4.5.2　抛物线法155

4.6　解非线性方程组的牛顿迭代法156

习题158

5.1.1　一般求积公式及其代数精度161

5.1　插值型数值求积公式161

第5章　数值积分与数值微分161

5.1.2　插值型求积公式163

5.1.3 Newton-Cotes求积公式165

5.1.4 Newton-Cotes求积公式的余项167

5.1.5 Newton-Cotes求积公式的数值稳定性和收敛性169

5.2　Gauss型求积公式170

5.2.1 最高代数精度求积公式170

5.2.2 Gauss点与正交多项式的联系172

5.2.4 Gauss求积公式的数值稳定性和收敛性173

5.2.3 Gauss求积公式的余项173

5.2.5 几个常用的Gauss型求积公式175

5.2.6 低阶Gauss型求积公式构造方法177

5.3　复化数值求积公式179

5.3.1　复化数值求积法179

5.3.2　复化梯形公式180

5.3.3 复化Simpson公式181

5.3.4　复化求积公式的收敛阶182

5.4.1 外推原理183

5.4　外推方法183

5.4.2 复化梯形公式余项的渐近展开184

5.4.3 Romberg算法185

5.4.4　外推法的进一步讨论186

5.5　自适应求积方法188

5.5.1 自适应计算问题188

5.5.2 自适应算法189

5.6 奇异积分和振荡函数积分的数值方法191

5.6.1　奇异积分计算191

5.6.2　振荡函数积分的计算193

5.7.1 矩形域上乘积型求积公式195

5.7 二元函数数值积分195

5.7.2 三角形域上面积坐标求积方法197

5.8　数值微分199

5.8.1　插值函数法199

5.8.2 差分算子近似微分算子法202

5.8.3 隐式方法204

习题206

第6章　常微分方程初值问题数值解法208

6.1.1 尤拉格式210

6.1　尤拉法210

6.1.2 两步尤拉格式215

6.1.3　梯形格式215

6.1.4　改进尤拉格式216

6.2　龙格—库塔法219

6.2.1　龙格—库塔法219

6.2.2　龙格—库塔法的基本思路220

6.2.3　二阶龙格—库塔法222

6.2.4　三阶龙格—库塔法225

6.2.5　四阶龙格—库塔法226

6.2.6　步长的选择230

6.3　线性多步法232

6.3.1　一般形式232

6.3.2　亚当斯格式232

6.3.3　亚当斯预报—校正格式236

6.3.4　误差修正法237

6.4　收敛性与稳定性239

6.4.1　误差分析239

6.4.2　收敛性240

6.4.3　稳定性242

6.5　方程组与高阶微分方程243

习题248

第7章 曲线拟合的最小二乘法252

7.1　最小二乘法的概念253

7.2　最小二乘解的求法254

7.3　加权最小二乘法264

7.4　利用正交函数作最小二乘拟合265

7.4.1 利用正交函数作最小二乘拟合的原理266

7.4.2　利用正交多项式作多项式拟合267

习题269

参考文献270