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第1章 绪论1

1.1 非光滑问题背景1

1.2 局部Lipschitz函数3

1.3 可微与方向可微5

第2章 凸集10

2.1 基本概念10

2.1.1 集与凸组合10

2.1.2 集的代数运算14

2.2 锥与极锥15

2.2.1 锥、凸锥与锥包15

2.2.2 极锥18

2.3 集上的投影19

2.3.1 投影的存在性与唯一性19

2.3.2 投影的性质21

2.3.3 凸锥的投影22

2.4 集的分离23

2.4.1 分离定理24

2.4.2 Farkas引理和Gordan定理26

2.5 多面体的极点和极方向27

2.6 相对内部29

2.6.1 仿射集29

2.6.2 相对内部的基本概念31

第3章 凸函数35

3.1 基本性质35

3.1.1 函数定义与常见凸函数35

3.1.2 正齐次函数37

3.2 函数的保凸运算39

3.2.1 复合运算39

3.2.2 凸函数与上图的关系40

3.2.3 卷积43

3.2.4 最大值函数45

3.2.5 函数的凸包与闭包46

3.2.6 共轭函数48

3.3 凸函数的连续性49

3.4 光滑凸函数的微分53

第4章 集值分析57

4.1 集合序列的极限57

4.2 集值映射59

4.2.1 基本概念59

4.2.2 集值映射的半连续性61

第5章 集合的切锥和法锥67

5.1 切锥的基本性质67

5.1.1 Bouligand切锥67

5.1.2 可行方向锥70

5.2 法方向与法锥71

5.2.1 极锥与法锥71

5.2.2 近似法锥73

5.3 切锥的计算73

5.4 凸集的切锥与法锥75

5.4.1 凸集的切锥75

5.4.2 凸集的法锥76

第6章 凸函数的次微分78

6.1 定义及有关性质78

6.1.1 凸函数的方向导数78

6.1.2 次微分定义和基本性质79

6.1.3 次微分与方向导数的关系81

6.1.4 次微分与上图的法锥的关系82

6.1.5 光滑凸函数的次微分83

6.2 极值条件与中值定理84

6.2.1 极值条件84

6.2.2 中值定理85

6.3 一些凸函数的次微分87

6.3.1 支撑函数的次微分87

6.3.2 距离函数的次微分87

6.3.3 复合函数的次微分90

6.3.4 极大值函数的次微分91

6.4 次微分的单调性和连续性94

6.4.1 单调性94

6.4.2 次微分的上半连续性95

6.5 近似次微分和近似方向导数96

6.5.1 近似次微分96

6.5.2 近似方向导数98

第7章 局部Lipschitz函数的广义梯度101

7.1 广义梯度基本性质101

7.1.1 广义方向导数101

7.1.2 广义梯度定义和性质103

7.2 可微性与正则性105

7.2.1 可微性105

7.2.2 正则性107

7.3 中值定理与链锁法则110

7.3.1 极值条件110

7.3.2 中值定理110

7.3.3 链锁法则111

7.4 广义梯度公式及广义雅可比115

7.4.1 广义梯度公式115

7.4.2 广义雅可比117

7.5 极大值函数广义雅可比的计算118

7.5.1 极大值函数118

7.5.2 线性函数的极大值121

7.5.3 极大值函数的复合123

第8章 拟可微函数及拟微分125

8.1 拟微分的基本性质125

8.1.1 基本概念125

8.1.2 链锁法则126

8.1.3 极值条件131

8.2 极大值复合函数133

8.3 拟微分表示广义梯度135

8.3.1 紧集差的定义135

8.3.2 表示广义梯度136

8.3.3 多面体公式138

第9章 最优性条件142

9.1 优化的最优性条件142

9.1.1 一般约束情形142

9.1.2 不等式约束情形145

9.1.3 线性等式约束情形147

9.1.4 等式和不等式约束情形148

9.2 Lipschitz优化的最优性条件149

9.2.1 不等式约束情形149

9.2.2 等式与不等式约束情形150

9.3 拟可微优化的最优性条件153

9.3.1 几何形式最优性条件154

9.3.2 含有乘子的最优性条件154

第10章 非光滑优化算法157

10.1 下降方向的计算157

10.1.1 广义梯度确定的下降方向157

10.1.2 函数次微分确定的下降方向159

10.2 次梯度法162

10.2.1 算法步骤163

10.2.2 收敛性分析163

10.3 割平面法168

10.3.1 算法步骤168

10.3.2 收敛性分析170

10.4 光滑化方法171

10.4.1 绝对值函数的光滑化171

10.4.2 光滑化基本概念172

10.4.3 极大值函数光滑化173

10.4.4 plus函数的光滑逼近173

10.4.5 收敛性分析177

第11章 非光滑方程组及非线性互补问题179

11.1 半光滑函数及其性质179

11.2 牛顿法184

11.2.1 牛顿法及收敛性184

11.2.2 不精确牛顿法及收敛性186

11.3 复合函数的牛顿法189

11.3.1 牛顿法及收敛性189

11.3.2 不精确牛顿法及收敛性191

11.4 非线性互补问题194

11.4.1 互补问题的背景194

11.4.2 非线性互补函数196

第12章 控制系统的生存性198

12.1 微分包含与生存性198

12.1.1 微分包含198

12.1.2 生存性基本概念199

12.2 生存性判别200

12.2.1 微分包含生存性判别201

12.2.2 仿射非线性控制系统生存性判别204

12.3 线性系统多面体生存域206

12.3.1 生存域的性质206

12.3.2 生存性判别方法207

12.3.3 生存性设计209

12.4 过程的多面体生存域210

参考文献213

索引218

《运筹与管理科学丛书》已出版书目221