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目录1

第1章　绪论1

1.1　数值算法概论1

1.2　预备知识4

1.2.1 范数4

1.2.2　差分方程7

1.3　误差分析9

1.3.1　误差的来源9

1.3.2　误差、误差限和有效数字10

1.3.3　相对误差和相对误差限11

1.3.4　有效数字与误差的关系12

1.3.5　数值计算中需要注意的问题13

本章小结15

习题15

第2章　线性方程组的数值解法17

2.1 高斯列主元消去法17

2.1.1　高斯消去法17

2.1.2　高斯列主元消去法18

2.2　对称正定矩阵的平方根法21

2.2.1　矩阵的三角分解21

2.2.2　对称正定矩阵的平方根法27

2.3　三对角线性方程组的追赶法31

2.4.1　雅可比迭代法33

2.4　线性方程组的迭代解法33

2.4.2　高斯-塞德尔迭代法35

2.4.3　超松弛迭代法36

2.5　误差分析38

2.6　算法与程序设计实例40

2.6.1　列主元高斯消去法解方程组40

2.6.2　用雅可比迭代法解方程组43

本章小结45

习题45

3.1 概述47

第3章　非线性方程及非线性方程组的解法47

3.2　二分法48

3.2.1 二分法的基本思想48

3.2.2　二分法计算步骤及其传统流程图50

3.3　迭代法52

3.3.1　迭代法的基本思想52

3.3.2　迭代法的几何意义及收敛性53

3.3.3　迭代法的收敛速度55

3.3.4　迭代法收敛的加速方法56

3.3.5　迭代法的计算步骤及其N-S流程图57

3.4.1　牛顿法的基本思想58

3.4　牛顿（Newton）法58

3.4.2　牛顿法的几何意义59

3.4.3　牛顿法的收敛性60

3.4.4　牛顿法的计算步骤及其N-S流程图62

3.5　非线性方程组的解法63

3.6　解非线性方程组的牛顿迭代法63

3.7　最速下降法65

3.8　本章部分算法C语言参考程序68

3.8.1　二分法参考程序68

3.8.2　迭代法参考程序69

3.8.3　牛顿法参考程序70

3.9　应用举例72

本章小结75

习题75

第4章　插值法与数据拟合法76

4.1 引言76

4.2　代数插值的基本性质77

4.3 泰勒插值和拉格朗日（Lagrange）插值78

4.3.1　泰勒插值78

4.3.2　拉格朗日插值80

4.4　牛顿（Newton）插值公式85

4.4.1　差商及其基本性质85

4.4.2　牛顿插值多项式86

4.4.3　牛顿插值的算法87

4.4.4　等距节点的牛顿插值公式89

4.5　分段低次插值90

4.5.1　分段线性插值91

4.5.2　分段二次插值91

4.5.3　分段三次埃尔米特插值93

4.6　三次样条插值95

4.6.1　三次样条函数的定义95

4.6.2　三次样条插值问题96

4.6.3　求样条插值函数的三转角法97

4.6.4　求样条插值函数的三弯矩法100

4.6.5　余项估计及收敛性、稳定性101

4.7 曲线拟合的最小二乘法102

4.7.1 曲线拟合的最小二乘法102

4.7.2　超定方程组的最小二乘解103

4.7.3　代数多项式拟合104

＊4.8　三角函数插值与快速富利叶变换107

4.8.1　最佳平方三角逼近与三角插值107

4.8.2　快速富氏变换（FFT）109

4.9　应用实例：用样条函数设计公路平面曲线112

4.9.1　问题的背景112

4.9.3　计算方法与结果分析113

4.9.2　数学模型113

4.10　上机程序参考实例115

4.10.1　拉格朗日插值算法程序实例115

4.10.2　牛顿插值算法程序实例116

4.10.3　分段抛物插值算法程序实例117

4.10.4　三次样条插值的三转角算法程序实例118

4.10.5　曲线拟合的最小二乘算法程序实例124

本章小结125

习题125

5.1　数值微分128

第5章　数值微积分128

5.1.1　两点数值微分公式129

5.1.2　三点数值微分公式130

5.1.3　李查逊（Richardson）外推方法132

5.2　数值求积公式的一般形式及其代数精度135

5.2.1　数值积分公式的一般形式135

5.2.2　求积公式的代数精度136

5.3　牛顿-柯特斯（Newton-Cotes）求积公式137

5.3.1　插值型求积公式137

5.3.2　牛顿-柯特斯公式139

5.3.3　诸公式的截断误差及其代数精度分析141

5.4　复化求积公式143

5.5　变步长求积公式145

5.6　龙贝格（Romberg）求积法147

5.7　高斯-勒让得（Gauss-Legendre）求积公式149

5.7.1　高斯-勒让得求积公式概述149

5.7.2　正交多项式152

5.7.3　区间［-1，1］与区间［a，b］上的Gauss公式154

5.8　Gauss型求积公式简介156

5.8.1　概述156

5.8.2　几种常见的高斯型求积公式157

5.9　应用实例：混频器中变频损耗的数值计算159

5.9.1　问题的背景159

5.9.2　数学模型160

5.9.3　计算方法和结果分析161

5.10　上机程序参考实例162

5.10.1 牛顿-柯特斯梯形公式162

5.10.2　高斯-勒让得法165

5.10.3　龙贝格法168

5.10.4　 高斯-埃尔米特法172

本章小结176

习题176

第6章 常微分方程的数值解法178

6.1　概述178

6.2.1　Euler方法179

6.2　Euler方法179

6.2.2　隐式Euler方法和梯形方法182

6.2.3　改进的Euler方法183

6.2.4　Taylor展开法185

6.2.5　数值问题的截断误差与阶185

6.3　Runge-Kutta方法187

6.3.1　二阶Runge-Kutta方法187

6.3.2　四阶标准Runge-Kutta方法189

6.3.3　其他常用Runge-Kutta方法192

6.4　单步法的收敛性和稳定性193

6.4.1　单步法收敛性193

6.4.2　单步法的稳定性194

6.5　一阶方程组与高阶方程196

6.5.1　一阶方程组196

6.5.2 高阶方程198

6.6　边值问题的差分解法199

6.6.1 线性方程边值问题的差分格式199

6.6.2　其他边界条件的讨论201

6.6.3　非线性方程边值问题202

6.7　应用实例：磁流体发电通道的数值计算202

6.7.1 问题的背景202

6.7.2　数学模型203

6.7.3　计算方法与结果分析204

6.8　上机程序参考实例205

6.8.1　Euler方法（Euler折线法）205

6.8.2　改进的Euler方法207

6.8.3　四阶标准Runge-Kutta方法208

本章小结210

习题210

第7章　偏微分方程数值解法简介212

7.1　椭圆型方程的差分解法212

7.1.1　差分格式的构成212

7.1.2　差分方程解的存在惟一性215

7.1.3 收敛性与误差估计218

7.1.4　一般二阶椭圆型方程第三边值问题的差分格式219

7.2　有限元方法220

7.2.1　变分原理220

7.2.2　区域剖分223

7.2.3　面单元分析224

7.2.4　线单元分析228

7.2.5　总体合成与基本方程组228

本章小结233

习题233

附录　习题参考答案234

参考文献239