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第1章 线性方程组1

1.1线性方程组的基本概念1

1.2阶梯方程组的回代法3

1.3线性方程组的消元法6

1.4应用实例10

1.4.1营养配方问题10

1.4.2交通流问题11

1.4.3电路分析问题12

1.4.4化学方程式的配平问题13

1.4.5多项式插值问题14

1.5历史事件15

习题116

第2章 矩阵19

2.1矩阵的概念19

2.2矩阵的运算22

2.2.1矩阵的线性运算22

2.2.2矩阵的乘法24

2.2.3矩阵的幂与多项式28

2.2.4矩阵的转置30

2.2.5矩阵的逆31

2.3矩阵的分块33

2.3.1分块矩阵的概念34

2.3.2分块矩阵的运算35

2.3.3线性方程组的矩阵表示38

2.4矩阵的初等变换40

2.4.1初等行变换和初等列变换40

2.4.2等价矩阵43

2.4.3初等矩阵44

2.4.4求逆矩阵的初等变换法46

2.4.5分块初等变换48

2.5矩阵的秩50

2.5.1矩阵秩的概念及简单性质50

2.5.2线性方程组解的判别准则51

2.5.3满秩矩阵54

2.6应用实例54

2.6.1图的邻接矩阵54

2.6.2计算机死锁问题55

2.6.3信息加密问题56

2.6.4职工培训问题57

2.7历史事件58

习题259

第3章 行列式64

3.1 n阶行列式的概念64

3.1.1二阶行列式的定义64

3.1.2三阶行列式的定义65

3.1.3n阶行列式的定义66

3.2行列式的性质68

3.2.1行列式按行展开法则68

3.2.2行列式初等行变换的性质71

3.2.3行列式中行列地位的对称性74

3.3行列式与矩阵的逆75

3.3.1伴随矩阵与矩阵的逆75

3.3.2行列式的乘积法则77

3.3.3 Cramer法则78

3.4行列式的计算80

3.4.1降阶法80

3.4.2三角化方法81

3.4.3数学归纳法82

3.4.4递推法83

3.4.5分拆法84

3.4.6升阶法85

3.5行列式与矩阵的秩86

3.5.1矩阵的子式与秩86

3.5.2矩阵秩的性质88

3.6应用实例90

3.6.1二阶、三阶行列式的几何意义90

3.6.2分式方程与平面方程93

3.6.3 Fibonacci数94

3.7历史事件96

习题397

第4章 向量空间与线性空间102

4.1向量组及其线性相关性102

4.1.1 n维向量102

4.1.2向量组的线性表示103

4.1.3向量组的线性相关性105

4.2向量组的秩110

4.2.1等价向量组110

4.2.2向量组的极大线性无关组与秩112

4.3线性方程组解的结构115

4.3.1齐次线性方程组解的结构115

4.3.2非齐次线性方程组解的结构118

4.4向量空间121

4.4.1向量空间的概念121

4.4.2向量空间的基与维数122

4.4.3基变换与坐标变换124

4.5 n维Euclid空间126

4.5.1向量的内积126

4.5.2正交向量组127

4.5.3正交矩阵130

4.6线性空间及其线性变换131

4.6.1线性空间的概念131

4.6.2线性子空间133

4.6.3线性空间的基、维数与坐标133

4.6.4线性变换135

4.7应用实例140

4.7.1阅读问题140

4.7.2最小二乘法140

4.7.3数列的通项142

4.7.4 R2上线性变换的几何表示143

4.8历史事件147

习题4149

第5章 矩阵的相似化简157

5.1特征值与特征向量157

5.1.1相似矩阵的概念和性质157

5.1.2特征值与特征向量的概念158

5.1.3特征值与特征向量的计算160

5.1.4特征值与特征向量的性质162

5.2矩阵的相似对角化165

5.2.1相似对角化的条件和方法166

5.2.2可对角化矩阵的多项式170

5.3实对称矩阵的对角化171

5.3.1实对称矩阵的特征值和特征向量172

5.3.2实对称矩阵的相似对角化方法173

5.4 Jordan标准形176

5.4.1 Jordan矩阵176

5.4.2 Jordan标准形的计算177

5.4.3相似变换矩阵的计算178

5.4.4 Cayley-Hamilton定理181

5.5应用实例182

5.5.1色盲遗传模型182

5.5.2兔子与狐狸的生态模型184

5.6历史事件186

习题5187

第6章 二次型192

6.1二次型及其矩阵表示192

6.2二次型的标准形195

6.2.1正交变换法195

6.2.2配方法198

6.2.3合同初等变换法200

6.3实二次型的规范形201

6.4正定二次型204

6.5应用实例208

6.5.1齐次多项式的条件极值208

6.5.2多元函数的极值209

6.6历史事件209

习题6210

部分习题答案或提示214

重要概念汉英对照229