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第一章 初等数学1

一、初等代数1

1.数系1

2.十进制与二进制1

3.乘法和因式分解1

4.指数2

5.对数3

6.分式3

7.比例5

8.根式6

9.不等式6

10.复数7

11.二、三阶行列式与三元一次方程组的解9

12.一元二次、三次、四次方程10

13.数列12

14.排列、组合与二项式定理13

1.若干平面图形的面积15

二、初等几何15

2.若干立体图形的体积和表面积16

3.立体角17

三、平面三角18

1.度与弧度18

2.三角函数的定义和基本关系18

3.特殊角的三角函数值19

5.两角和的三角函数公式20

6.三角函数的倍角公式和半角公式20

4.三角函数的诱导公式20

7.三角函数的和差与积关系式22

8.三角形的基本定理及斜三角形解法22

9.反三角函数24

10.基本三角方程的解集25

第二章 解析几何26

一、笛卡儿直角坐标系26

1.平面直角坐标系和空间直角坐标系26

2.两点间的距离26

4.坐标变换27

3.线段定比分点的坐标27

二、平面上的直线30

1.斜率k30

2.平面直线方程30

3.点线距离31

三、二次曲线31

1.圆32

2.椭圆33

3.双曲线34

4.抛物线35

5.圆锥曲线方程36

四、常用平面曲线36

五、平面42

1.平面方程42

2.点到平面的距离43

六、空间直线43

1.空间直线的方向43

3.直线、平面间的相互关系44

2.空间直线方程44

七、二次曲面45

1.球面45

2.椭球面45

3.双曲面46

4.抛物面46

5.柱面47

6.锥面47

1.行列式的定义及拉普拉斯展开式49

第三章 线性代数49

一、行列式49

2.行列式的性质50

3.几个特殊行列式53

二、矩阵55

1.矩阵的定义、子式和秩55

2.矩阵的代数运算56

3.矩阵的微积分60

4.特殊矩阵60

5.矩阵的变换67

三、线性方程组70

1.线性方程组的一般形式及解的判定和结构70

2.n个未知量n个方程的线性方程组的解法71

四、线性矢量空间和线性变换72

1.线性矢量空间72

2.内积空间和Schmit正交化74

3.线性变换76

4.本征方程和本征值78

第四章 微分学80

一、函数80

1.区间和邻域80

2.函数及其特性80

二、初等函数81

1.幂函数81

2.指数函数81

3.对数函数81

4.三角函数82

5.反三角函数83

6.双曲函数85

三、函数的极限87

1.定义87

2.函数极限运算法则87

四、函数的连续性88

2.连续性判别法则88

1.定义88

4.两个基本极限88

3.函数极限存在判别法则88

五、导数和微分89

1.定义及几何意义89

2.导数基本公式89

3.微分法则91

六、多元函数的偏导数与全微分92

1.偏导数92

3.复合函数微分法93

4.混合偏导数性质93

2.全微分93

5.方向导数94

6.隐函数求导法94

七、微分学基本定理95

1.中值定理95

2.洛必达法则95

3.泰勒公式96

1.单元函数微分学的应用97

八、微分学的应用97

2.多元函数微分学的应用99

第五章 积分学102

一、不定积分102

1.不定积分的性质102

2.不定积分法102

3.不定积分表104

二、定积分120

1.定积分的性质120

3.定积分的计算121

2.积分中值定理121

4.广义积分122

5.含参变量积分125

三、重积分126

1.二重积分126

2.三重积分128

四、曲线积分和曲面积分130

1.对弧长的曲线积分130

2.对坐标的曲线积分131

3.对面积的曲面积分132

4.对坐标的曲面积分133

五、积分的应用134

1.平面图形的面积134

2.曲面面积135

3.体积136

4.弧长137

5.平均值及重心137

6.转动惯量138

2.收敛级数的基本性质140

1.定义140

第六章 级数140

一、级数的基本概念140

二、正项级数收敛判别法141

1.收敛准则141

2.比较判别法141

3.比值判别法141

4.柯西判别法142

三、任意项级数收敛判别法142

1.绝对收敛和条件收敛142

2.变号级数收敛判别法143

1.一致收敛143

2.一致收敛判别法143

3.函数项级数的运算144

1.收敛半径R的计算公式145

2.幂级数的运算145

3.函数的幂级展开式145

四、函数项级数145

五、幂级数145

六、傅里叶级数150

1.定义150

2.傅里叶级数的收敛性151

3.傅里叶级数的复数形式152

4.傅里叶级数的逐项微分与积分152

5.函数展开成傅里叶级数的步骤153

6.常用傅里叶级数展开式154

1.基本概念159

七、无穷乘积159

2.无穷乘积的收敛判别法160

3.无穷乘积展开式实例160

第七章 常微分方程162

一、一阶微分方程162

1.导数已解出的可积型一阶微分方程162

2.可积型一阶隐方程165

二、二阶微分方程166

1.特殊型二阶微分方程166

2.二阶齐次线性微分方程的幂级数解法168

1.y(n)=f(x)170

2.y(n)=f(y(n-1))170

3.y(n)=f(y(n-2))170

三、可积型高阶微分方程170

4.F(y(n-F),y(n))=0171

5.F(x,y(n))=0171

四、n阶线性微分方程171

1.变系数n阶线性微分方程171

2.常系数n阶线性微分方程172

五、欧拉方程175

六、常系数线性微分方程组175

七、常系数非齐次线性微分方程及其算子解法177

1.常系数非齐次线性微分方程的算子解法177

2.常系数非齐次线性微分方程组的算子解法180

1.动力学系统与相空间181

2.二维定常系统的奇点分类181

八、微分方程稳定性理论初步181

3.极限环185

4.李亚普诺夫稳定性理论186

第八章 偏微分方程188

一、一阶偏微分方程188

1.一阶线性偏微分方程188

2.一阶拟线性偏微分方程189

3.一阶非线性偏微分方程190

2.多自变量的二阶线性偏微分方程的分类192

二、二阶线性偏微分方程的分类192

1.二个自变量的二阶线性偏微分方程的分类192

三、三类典型的二阶线性偏微分方程193

1.双曲型方程193

2.抛物型方程198

3.椭圆型方程201

4.拉普拉斯方程的格林函数法203

5.δ函数和基本解204

1.解析函数的定义207

2.解析函数的性质207

第九章 复变函数207

一、解析函数207

3.解析函数的四个等价条件208

4.初等解析函数208

二、复变函数的积分、柯西积分定理和柯西积分公式211

1.复变函数的积分211

2.柯西积分定理212

1.复幂级数的收敛半径R213

2.泰勒级数213

三、泰勒级数和罗朗级数213

3.柯西积分公式213

3.罗朗级数215

四、孤立奇点与留数215

1.单值函数的三类孤立奇点215

2.留数216

3.留数定理216

4.孤立奇点的留数计算法216

5.利用留数计算定积分217

五、保角变换218

1.几种最简单的保角变换218

2.线性变换220

第十章 变分法221

一、固定边界的变分问题221

1.最简单的变分问题221

2.欧拉方程的几种推广222

3.带有约束条件的变分问题222

二、可动边界的变分问题223

第十一章 概率论227

一、概率的基本概念227

1.事件227

2.事件间的关系227

3.概率的古典定义228

4.概率的公理化定义228

二、概率的基本性质和计算公式229

1.概率的基本性质229

2.条件概率和乘法定理229

3.几个常用公式230

三、随机变量及其分布函数231

1.定义231

2.分布函数的基本性质231

3.离散型随机变量的概率分布231

4.连续型随机变量的概率分布232

5.随机变量的联合分布函数232

6.条件分布函数233

1.数学期望与方差234

四、随机变量的数字特征234

2.数学期望与方差的性质及计算公式235

3.条件数学期望235

4.全数学期望235

5.高阶原点矩与中心矩236

6.相关矩和相关系数236

五、常用分布函数237

1.离散型概率分布237

2.连续型分布238

1.大数定理243

六、极限定理243

2.中心极限定理244

第十二章 微分几何245

一、曲线论245

1.曲线的参数表示245

2.曲线的局部性质245

3.特殊曲线248

1.曲面的参数表示250

2.曲面的第一基本形式250

二、曲面论250

3.曲面的第二基本形式251

4.曲面的第三基本形式253

5.曲面论的基本定理253

6.测地曲率和测地线254

7.特殊曲面257

第十三章 集合与布尔代数260

一、集合260

1.集合的基本概念260

2.集合的基本运算261

3.集族262

4.集列的极限263

5.笛卡尔积与幂集264

6.等价关系与商集265

7.映射266

8.集合的基数268

二、n维欧氏空间Rn中的点集269

1.距离269

2.邻域、内点、聚点270

3.导集270

4.开集、闭集、完备集271

三、布尔代数271

1.布尔代数的定义及性质271

2.逻辑代数的基本概念272

3.逻辑代数的基本公式273

4.逻辑代数的重要规则273

6.逻辑函数的化简274

5.开关代数274

第十四章 拓扑学276

一、拓扑空间276

1.拓扑的一般概念276

2.点集的拓扑277

3.拓扑空间的分离性278

4.拓扑空间的可数性279

5.拓扑空间的连续映射279

7.连通性280

6.拓扑乘积控间280

二、度量空间281

1.度量空间的一般概念281

2.度量空间的拓扑281

3.度量空间的完备化282

三、一致空间283

1.复合关系与逆关系283

2.一致空间283

1.紧致的一般概念284

四、紧致性284

4.一致连续284

3.一致拓扑284

2.紧致的性质285

3.变换族的紧致--开拓扑285

4.紧致化286

五、同伦论286

1.同伦的一般概念286

2.基本群287

2.单纯同调群288

1.单形和复形288

六、同调论288

3.欧拉--庞加莱公式289

第十五章 群论291

一、群的概念291

1.群的定义291

2.群的若干性质292

3.子群与陪集292

5.群的直积293

4.群的同构与同态293

二、有限群表示论294

1.群的表示294

2.群代数与正则表示295

3.群表示的特征标理论295

三、置换群296

1.置换群的基本概念296

2.Sn群的不可约表示297

四、典型群298

1.线性群298

2.正交群298

3.辛群299

4.酉群299

五、李群与李代数300

1.李群300

2.李代数301

一、矢量代数305

1.矢量305

第十六章 矢量305

2.矢量加减法与数乘306

3.线性关系307

4.数性积308

5.矢性积309

6.混合积310

7.矢量三重积311

8.多重积的几个公式311

9.矢量代数方程的解311

2.一般矢量函数关于数量参数的导数312

二、矢量微积分312

1.矢量函数、极限和连续312

3.矢径形式的矢量函数求导公式313

4.矢量函数的泰勒展开315

5.常用正交坐标系中矢量变换公式316

6.矢量函数的积分319

2.拉普拉斯算子320

1.线性算子320

二、偏微分算子320

1.标量场320

一、标量场和矢量场320

第十七章 场论初步320

2.矢量场320

三、标量场的梯度321

1.梯度321

2.方向导数321

3.性质321

五、矢量场的散度322

2.性质322

1.散度322

1.旋度322

2.性质322

四、矢量场的旋度322

六、梯度、散度和旋度的混合运算323

七、场论中的量在圆柱面和球面坐标系下的表达式323

1.圆柱面坐标系323

1.矢量场的线积分324

2.球坐标系324

八、线积分324

2.环量与势场325

九、曲面积分326

1.标量场的通量326

2.矢量场的标通量326

3.矢量场的矢通量326

1.高斯公式327

十一、积分定理327

2.矢量场a(r)的体积导数327

1.标量场Φ(r)的体积导数327

十、体积导数327

2.斯托克斯公式328

3.格林公式328

第十八章 张量分析330

一、张量概念330

1.预备知识330

2.张量的定义331

3.张量代数332

4.张量的对称和反对称334

5.克罗内克尔符号δ334

6.置换符号335

7.局部基矢量336

二、黎曼空间336

1.黎曼空间中的几个概念336

2.黎曼空间中的标量积与矢量积339

1.测地线340

三、联络和克里斯托弗尔符号340

2.矢量的平移341

3.联络341

4.挠率张量341

5.克里斯托弗尔符号342

四、张量的协变导数344

1.一阶张量的协变导数344

2.内禀导数344

5.张量场的微分运算345

3.一阶张量的协变微分345

4.一般张量的协变导数345

2.曲率张量的性质347

2.可化为Г函数的积分347

1.曲率张量的定义347

五、曲率张量347

3.里奇张量、曲率标量和爱因斯坦张量348

4.黎曼曲率349

第十九章 傅里叶变换351

一、傅里叶变换和反演351

二、傅里叶变换的基本性质351

三、傅里叶变换简表353

四、傅里叶余弦变换表355

五、傅里叶正弦变换表356

第二十章 拉普拉斯变换358

一、拉普拉斯变换和反演358

二、拉普拉斯变换的基本性质358

三、拉普拉斯变换表361

3.Г函数的有关公式370

一、Г函数374

第二十一章 特殊函数374

1.Г函数的几种不同定义374

二、B函数377

1.B函数的几种不同定义377

2.可化为B函数的积分377

3.B函数的有关公式379

三、误差函数和某些超越函数积分379

1.误差函数和菲涅耳积分379

四、柱函数380

2.正弦积分、余弦积分、指数积分和对数积分380

1.第一类贝塞尔函数381

2.第二类贝塞尔函数386

3.第三类贝塞尔函数388

4.球贝塞尔函数390

5.修正贝塞尔函数391

6.开尔文函数392

1.勒让德多项式393

五、正交多项式393

2.连带勒让德多项式395

3.球函数396

4.切比雪夫多项式397

5.拉盖尔多项式398

6.埃尔米特多项式399

第二十二章 数值分析402

一、误差分析402

1.绝对误差402

2.相对误差402

3.误差传递402

4.有效数字403

5.高斯误差定律403

二、插值法404

1.拉格朗日插值404

2.埃特金逐步插值404

3.牛顿插值405

4.等距节点插值406

5.三次样条插值409

三、数值微分410

1.差分求导法410

2.拉格朗日插值求导法411

3.牛顿插值求导法411

4.等距求导法412

5.三次样条函数求导法412

1.等距求积法413

四、数值积分413

2.不等距求积法414

五、常微分方程数值解法417

1.一阶常微分方程的数值解法417

2.一阶常微分方程组的数值解法418

3.二阶常微分方程的数值解法420

六、线性方程组的数值解法421

1.高斯消去法421

2.平方根法422

3.追赶法423

5.塞德尔法424

6.松弛迭代法424

4.雅可比迭代法424

七、矩阵特征值的数值计算425

1.幂法425

2.反幂法426

3.雅可比方法427

4.一般方阵势QR算法428

2.弦线法429

八、方程的近似解429

1.二分法429

3.切线法431

4.迭代法431

5.劈因子法433

6.蒙特卡洛方法求复根435

7.非线性方程组的牛顿法436

1.曲线类型的确定437

九、实验数据的曲线拟合437

2.线性方程的拟合438

3.非线性函数直线化438

4.多项式曲线拟合439

5.曲线拟合的最小二乘法439

第二十三章 数理统计442

一、样本特征442

1.总体和样本442

2.样本分布函数442

3.样本的数字特征442

二、参数估计443

1.点估计443

2.区间估计445

三、假设检验450

1.基本概念450

2.总体参数假设检验451

3.总体分布函数的假设检验456

1.单因素方差分析457

四、方差分析457

2.双因素方差分析459

五、回归分析462

1.最小三乘法原理462

2.一元线性回归463

3.可化为一元线性回归的曲线回归469

4.多元线性回归472

1.图与子图475

2.图的运算475

一、基本概念475

第二十四章 图论475

二、连通性476

1.顶点的度476

2.通路与回路476

3.最短通路477

三、树与割集479

1.树与生成树479

3.割集与断集480

2.连枝集与基本回路集480

四、图的矩阵表示481

1.邻接矩阵481

2.关联矩阵481

3.回路矩阵482

4.割集矩阵483

2.二分图484

3.平面图484

1. 可分图与不可分图484

五、几类重要的图484

六、网络流485

1.网络485

2.网络的流486

附录一、Г函数表487

二、贝塞尔函数表488

三、正态分布表489

四、x2分布表490

五、t分布表492

六、希腊字母表494