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第一章 素数定理的历史1

1 符号0及？1

2 素数定理的历史6

3 数论函数［x］21

第一章习题23

第二章 ЧЕБЫЩЕВ不等式26

1 素数有无穷多个26

2 算术基本定理31

3 几乎所有的自然数都不是素数35

4 Чебыщев不等式37

5 Чебыщев函数θ(x)和Ψ(x)41

6 M？bius变换44

7 Ψ(x)的基本性质47

8 Чебыщев不等式的另一证明50

第二章习题51

第三章 MERTENS定理59

1 Abel恒等式及其应用59

2 Mertens定理65

3 Чебыщев定理70

4 实变量的ζ函数71

5 常数的确定76

第三章习题77

第四章 素数定理的等价命题80

1 命题(A)与素数定理等价80

2 命题(A)与命题(B)等价84

3 命题(C)与素数定理等价86

第四章习题87

第五章 第一个证明89

1 证明的想法89

2 Selberg不等式91

3 问题的转化96

4 定理的证明102

第五章习题106

第六章 第二个证明109

1 证明的途径109

2 余项a(x)的初步讨论111

3 b(x)及h(x)的Selberg型不等式114

4 b(x)和h(x)之间的关系120

5 b(x)的进一步讨论122

6 h(x)的估计131

7 1定理2的证明134

第六章习题136

第七章 第三个证明(简介)137

1 Dirichlet卷积138

2 广义Dirichlet卷积148

3 映射类？h,n155

4 Tf的计算161

5 Sf的计算与映射类？h,n178

6 一般的Selberg不等式182

7 证明概述187

第七章习题188

第八章 RIEMANN ZETA函数191

1 定义与基本性质191

2 解析开拓197

3 ζ(1+it)≠0199

4 在直线σ=1附近的估计200

第八章习题206

第九章 几个TAUBER型定理212

1 两个最简单的定理212

2 Hardy-Littlewood定理214

3 关于权函数kλ(x)的Tauber型定理217

4 Ikehara定理220

5 素数定理的等价命题226

第九章习题227

第十章 第四个证明230

1 第四个证明230

2 素数定理成立的必要条件232

第十章习题234

第十一章 第五个证明235

1 两个复变积分235

2 两个关系式238

3 Fourier变换242

4 第五个证明246

5 余项估计247

第十一章习题248

第十二章 第六个证明250

1 Mellin变换250

2 第六个证明252

第十二章习题255

第十三章 ？空间中的Fourier变换257

1 基本性质257

2 反转公式261

3 卷积及其Fourier变换266

4 Fourier变换空间F268

第十四章 WIENER定理与第七个证明275

1 Wiener定理275

2 第七个证明278

第十四章习题283

第十五章 素数定理的一个推广284