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第8章　多元函数微分法及其应用1

8.1　多元函数的基本概念1

8.1.1 平面点集1

8.1.2　二元函数的定义3

8.1.3　n维空间与n元函数4

习题8-15

8.2　二元函数的极限与连续5

8.2.1　二元函数的极限5

8.2.2 多元函数的连续性8

习题8-210

8.3　偏导数11

8.3.1　偏导数的定义与计算11

8.3.2　高阶偏导数15

习题8 316

8.4　全微分及其应用17

8.4.1　全微分的定义17

8.4.2　函数可微的必要与充分条件19

8.4.3　微分在近似计算中的应用22

习题8-423

8.5　多元复合函数的求导法则24

8.5.1　链式法则24

8.5.2　全微分形式的不变性30

习题8-531

8.6　隐函数求导法32

8.6.1 由一个方程确定的隐函数的求导32

8.6.2　方程组的情形35

习题8-638

8.7　微分法在几何上的应用39

8.7.1 空间曲线的切线与法平面39

8.7.2 曲面的切平面与法线44

习题8-747

8.8　方向导数与梯度47

8.8.1　方向导数47

8.8.2　梯度50

习题8-853

8.9　多元函数的极值及求法54

8.9.1　无条件极值54

8.9.2　最大值和最小值57

8.9.3　条件极值58

习题8-962

8.10 二元函数的泰勒公式62

8.10.1　二元函数的泰勒公式62

8.10.2　极值充分条件Ⅰ的证明65

习题8-1067

第9章　重积分68

9.1　二重积分的概念与性质68

9.1.1　二重积分的概念68

9.1.2　二重积分的性质71

习题9-173

9.2　二重积分的计算74

9.2.1 直角坐标系下二重积分的计算74

习题9-2（1）80

9.2.2　极坐标系下二重积分的计算81

习题9-2（2）84

9.3　三重积分的概念与计算86

9.3.1　三重积分的概念与性质86

9.3.2　直角坐标系下三重积分的计算87

习题9-392

9.4　利用柱面坐标和球面坐标计算三重积分93

9.4.1　利用柱面坐标计算三重积分93

9.4.2　利用球面坐标计算三重积分95

习题9-498

9.5　重积分的应用99

9.5.1　空间几何体的体积99

9.5.2　空间曲面的面积100

9.5.3 平面薄片与空间立体的重心103

9.5.4　平面薄片与空间立体的转动惯量105

9.5.5　平面薄片与空间立体对质点的引力106

习题9-5108

第10章 曲线积分与曲面积分110

10.1　对弧长的曲线积分110

10.1.1　概念与性质110

10.1.2　对弧长的曲线积分的计算方法112

习题10-1116

10.2　对坐标的曲线积分117

10.2.1　概念与性质117

10.2.2　对坐标的曲线积分的计算方法120

习题10-2124

10.3　格林公式及其应用125

10.3.1　格林公式126

10.3.2　平面上曲线积分与路径无关的条件131

10.3.3　二元函数的全微分求积135

习题10-3138

10.4　对面积的曲面积分139

10.4.1　概念与性质140

10.4.2 对面积的曲面积分的计算方法141

习题10-4144

10.5　对坐标的曲面积分145

10.5.1　概念与性质146

10.5.2 对坐标的曲面积分的计算方法149

习题10-5153

10.6　高斯公式及其应用154

10.6.1 高斯公式及其应用154

10.6.2　通量与散度157

习题10-6158

10.7　斯托克斯公式及其应用159

10.7.1　斯托克斯公式160

10.7.2　环流量与旋度163

习题10-7164

第11章　无穷级数166

11.1　常数项级数的概念与性质166

11.1.1　常数项级数的概念166

11.1.2　收敛级数的性质168

11.1.3　级数收敛的必要条件169

习题11-1170

11.2　常数项级数的审敛法170

11.2.1　正项级数及其审敛法170

11.2.2　交错级数及其审敛法175

11.2.3　绝对收敛与条件收敛176

习题11-2178

11.3　幂级数180

11.3.1 函数项级数的概念180

11.3.2　幂级数及其收敛性181

11.3.3　幂级数的运算184

习题11-3187

11.4　函数展成幂级数及其应用188

11.4.1　泰勒级数188

11.4.2　函数展成幂级数190

11.4.3 函数的幂级数展开式的应用193

习题11-4196

11.5　傅立叶级数197

11.5.1 三角级数与三角函数系的正交性197

11.5.2　函数展成傅立叶级数197

11.5.3　周期延拓201

习题11-5202

11.6　正弦级数和余弦级数203

习题11-6204

11.7　周期为2l的周期函数的傅立叶级数205

习题11-7207

第12章　微分方程208

12.1　基本概念208

习题12-1212

12.2　可分离变量的微分方程213

习题12-2216

12.3　齐次微分方程217

12.3.1 齐次微分方程的基本形式217

12.3.2 齐次微分方程的求解方法218

习题12-3221

12.4　一阶线性微分方程222

12.4.1　一阶线性微分方程222

12.4.2　伯努利方程224

习题12-4226

12.5　全微分方程226

习题12-5229

12.6　可降阶的高阶微分方程230

12.6.1 y（n）=f（x）型方程230

12.6.2 y″=f（x,y′）型方程230

12.6.3 y″=f（y,y′）型方程231

习题12-6233

12.7　高阶线性微分方程234

12.7.1　二阶齐次线性方程解的性质与通解结构234

12.7.2　二阶非齐次线性方程解的性质与通解结构235

12.8　二阶常系数齐次线性微分方程236

习题12-8240

12.9　常系数非齐次线性方程241

12.9.1 f（x）=eλxPm（x）型（Pm（x）为m次多项式）241

12.9.2 f（x）=Pm（x）eλxcoswx或Pm（x）eλxsinwx型245

习题12-9246

12.10 欧拉方程247

习题12-10249

12.11　微分方程的幂级数解法251

习题12-11255

习题解答与提示256

参考文献285