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第一节 高等数学的意义和作用1

一、高等数学建立的时代背景1

第一章 高等数学的意义和作用1

二、高等数学的意义和作用2

三、信息类专业高等数学的内容3

四、课程要求3

第二节 如何学好高等数学3

第一节 函数5

一、函数的概念5

第二章 初等函数5

二、函数的脊种特性7

三、分段函数8

四、反函数8

第二节 初等函数8

一、基本初等函数9

二、初等函数9

第三节 函数模型10

一、数学模型的概念10

二、建立数学模型的过程10

三、函数模型的建立12

习题二14

第三章 极限与连续16

第一节 极限的概念16

一、函数的极限16

二、极限的性质18

第二节 无穷小量与无穷大量19

一、无穷小量19

二、无穷大量20

三、无穷小与无穷大的关系20

二、第二个重要极限21

第三节 两个重要极限21

一、第一个重要极限21

第四节 极限的四则运算法则23

一、极限的四则运算23

二、无穷小的比较25

第五节 函数的连续性26

一、函数的连续性26

二、函数的间断28

二、闭区间上连续函数的性质29

一、初等函数的连续性29

第六节 闭区间上连续函数的性质29

习题三31

第四章 导数与微分33

第一节 导数的概念33

一、两个实例33

二、导数与高阶导数的概念34

三、可导与连续37

一、求导举例38

第二节 求导举例与变化率举例38

二、变化率举例40

第三节 导数的四则运算法则41

一、函数的和、差、积、商的求导法则42

二、导数的基本公式43

三、高阶导数的运算43

第四节 复合函数的求导法则44

一、复合函数的求导法则45

二、反函数的求导法则46

三、参数方程求导法46

一、隐函数求导法47

第五节 隐函数求导法47

二、对数求导法49

第六节 微分及其几何意义50

一、两个实例50

二、微分的概念51

三、可微的充要条件51

第七节 微分在近似计算中的应用53

一、用微分做近似计算的理论依据53

二、微分在近似计算中的应用举例54

习题四56

第五章 导数应用58

第一节 拉格朗日中值定理及函数的单调性58

一、罗尔中值定理58

二、拉格朗日中值定理59

三、函数的单调性60

第二节 洛必达法则61

一、洛必达法则61

二、求未定式？和？的极限举例61

三、应用洛必达法则需注意的事项63

二、极值的判定64

第三节 函数的极值64

一、极值的定义64

第四节 函数的最值66

一、闭区间上连续函数的最大最小值66

二、实际问题的最大最小值66

第五节 函数图形的凹向与拐点67

一、曲线的凹向及其判别法67

二、曲线的拐点68

二、一般步骤69

一、曲线的渐近线69

第六节 函数图形的描绘69

三、作函数图形举例70

习题五71

第六章 不定积分72

第一节 不定积分的概念及性质72

一、原函数72

二、不定积分的概念73

三、不定积分的性质74

一、不定积分基本公式75

第二节 不定积分的基本积分公式75

二、不定积分的凑微分法77

第三节 不定积分的换元积分法81

一、换元积分法81

二、换元积分法举例82

第四节 不定积分的分部积分法84

一、分部积分公式84

二、分部积分举例85

习题六88

一、引入定积分概念的实例89

第七章 定积分89

第一节 定积分的概念89

二、定积分概念91

第二节 定积分的几何意义及其性质93

一、定积分的几何意义93

二、定积分的性质94

第三节 微积分基本公式96

一、变上限的定积分96

二、微积分基本公式97

一、定积分的换元积分法100

第四节 定积分的换元法100

二、奇（偶）函数的定积分101

第五节 定积分的分部积分法103

一、定积分的分部积分法103

二、分段函数的定积分105

第六节 反常积分106

一、无穷区间上的反常积分106

二、无界函数的反常积分108

习题七110

一、微元法111

二、平面曲线的弧长111

第八章 定积分的应用111

第一节 用定积分求平面曲线的弧长和平面图形的面积111

三、平面图形的面积112

第二节 平行截面面积为已知的立体体积114

一、平行截面面积为已知的立体的体积114

二、旋转体的体积115

第三节 定积分的物理应用116

一、变力做功116

三、液体压力117

二、物体的质量117

习题八118

第九章 常微分方程119

第一节 常微分方程的基本概念119

一、微分方程的基本概念119

二、简单微分方程的建立121

第二节 常微分方程的分离变量法122

一、变量可分离的常微分方程122

二、分离变量法122

第三节 一阶线性微分方程的解法123

一、一阶线性微分方程定义124

二、一阶线性微分方程的求解方法124

第四节 一阶线性微分方程的应用126

一、由斜率求曲线方程126

二、由变化率求原函数127

第五节 二阶常系数齐次线性微分方程127

一、二阶常系数齐次线性微分方程解的性质128

二、二阶常系数齐次线性微分方程的求解方法128

一、二阶常系数非齐次线性微分方程解的性质130

二、二阶常系数非齐次线性微分方程的求解方法130

第六节 二阶常系数非齐次线性微分方程的求解方法130

习题九133

第十章 向量与空间解析几何135

第一节 空间直角坐标系与向量的概念135

一、空间直角坐标系135

二、向量的概念136

三、向量线性运算的几何表示137

一、向径的坐标表示138

第二节 向量的坐标表示法及其线性运算138

二、向量？的坐标表示139

三、两点间的距离公式140

四、数量积142

五、向量积144

第三节 平面方程147

一、平面的点法式方程147

二、平面的一般式方程149

一、直线的一般式方程151

二、直线的点向式方程151

第四节 直线方程151

第五节 空间曲面的方程154

一、空间曲面的一般概念154

二、母线平行于坐标轴的柱面155

三、以坐标轴为旋转轴的旋转曲面157

第六节 平面截痕法158

一、球面159

二、椭球面159

四、锥面160

三、椭圆抛物面160

第七节 空间曲线162

一、空间曲线的一般式方程162

二、空间曲线的参数方程163

第八节 空间曲线在坐标面上的投影165

一、投影柱面165

二、空间曲线在坐标面上的投影166

习题十168

第十一章 多元函数微分学170

第一节 多元函数的极限与连续170

一、平面区域170

二、二元函数172

三、二元函数的极限174

四、二元函数的连续性176

第二节 偏导数177

一、二元函数偏导数的概念178

二、求偏导数举例180

三、高阶偏导数181

第三节 全微分182

一、引例183

二、全微分的定义184

三、全微分计算185

四、微分在近似计算中的应用186

五、全微分的几何意义186

第四节 复合函数的求导法则187

一、复合函数的偏导数求法188

二、隐函数的微分法192

第五节 多元函数微分学的几何应用194

一、曲线的切线194

二、曲面的切平面196

二、函数极值的求法198

一、多元函数极值的概念198

第六节 多元函数的极值198

三、条件极值200

第七节 多元函数的最大值与最小值203

一、在有界闭域上连续的多元函数的最值203

二、实际问题中的多元函数的最值204

习题十一205

第十二章 多元函数的积分208

第一节 二重积分的概念与性质208

一、二重积分的概念208

二、二重积分的性质209

第二节 二重积分的计算211

一、在直角坐标系下计算二重积分211

二、在极坐标系下计算二重积分215

第三节 二重积分的应用218

一、平面薄板的质量218

二、平面薄板的质心219

三、平面薄板的转动惯量220

习题十二222

第一节 二阶、三阶行列式224

一、二阶行列式224

第十三章 行列式224

二、三阶行列式225

第二节 克拉默（Cramer）法则227

一、Cramer法则227

二、Cramer法则的应用229

第三节 n阶行列式230

一、n阶行列式的定义230

二、行列式的性质232

一、特殊行列式的计算234

第四节 行列式的计算方法234

二、四阶行列式的计算方法举例235

习题十三238

第十四章 矩阵242

第一节 矩阵的概念与矩阵的线性运算242

一、矩阵的概念242

二、矩阵的线性运算245

三、矩阵的转置246

一、引例247

第二节 矩阵的乘法运算247

二、矩阵乘法248

三、矩阵乘法的应用250

第三节 方阵的逆矩阵252

一、方阵的逆矩阵定义252

二、方阵可逆的充要条件253

三、按定义求方阵的逆矩阵254

四、逆矩阵的应用255

一、矩阵秩的定义257

第四节 矩阵的秩257

二、矩阵的初等变换258

三、用初等行变换求矩阵的秩259

第五节 用初等行变换求方阵的逆矩阵261

一、初等方阵261

二、用初等行变换求方阵的逆矩阵263

第六节 向量组的秩266

一、向量组的线性相关性266

二、向量组的极大线性无关组270

三、向量组的秩272

习题十四273

第一节 齐次线性方程组的解的结构276

第十五章 线性方程组276

一、齐次线性方程组的解的结构277

二、齐次线性方程组有非零解的充要条件278

第二节 齐次线性方程组的基础解系279

一、齐次线性方程组的基础解系280

二、齐次线性方程组的通解282

第三节 非齐次线性方程组的解的结构283

一、非齐次线性方程组的解的结构283

二、非齐次线性方程组有解的充要条件285

三、用初等行变换求线性方程组的通解287

习题十五290

第十六章 数学软件包Mathematica及其应用292

第一节 初识数学软件包Mathematica292

一、用Mathematica作算术运算292

二、代数运算294

三、系统的帮助295

四、Notebook与Cell295

五、常用函数296

六、变量297

八、表298

七、自定义函数298

九、解方程299

十、Which语句300

十一、Print语句300

第二节 用Mathematica做高等数学301

一、用Mathematica求极限301

二、用Mathematica进行求导运算302

三、用Mathematica做导数应用题302

四、用Mathematica做一元函数的积分303

五、用Mathematica解常微分方程303

六、用Mathematica做向量运算和三维图形304

七、用Mathematica求偏导数与多元函数的极值305

八、用Mathematica做线性代数306

九、用Mathematica做二重积分309

十、用Mathematica做数值计算309

习题十六312

附录A 初等数学常用公式313

附录B 函数的四种特性及基本初等函数的性质317

附录C 常用函数的拉普拉斯变换表321

附录D 习题答案与提示322

参考文献344