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第1章 预备知识1

1.1 集合与映射2

1.1.1 集合2

1.1.2 映射6

1.2 运算与同态映射8

1.2.1 运算8

1.2.2 同态与同构映射11

1.3 关系与等价关系13

1.3.1 关系13

1.3.2 等价关系15

1.4 数论基础17

1.4.1 辗转相除法17

1.4.2 模运算20

1.5 多项式基础26

1.5.1 多项式的概念26

1.5.2 多项式的带余除法27

1.5.3 多项式的辗转相除法29

1.5.4 多项式的分解与表示31

1.6 密码学基础与同态密码算法33

1.6.1 密码学基础33

1.6.2 公钥密码的概念36

1.6.3 同态密码算法37

小结43

习题43

第2章 群45

2.1 群的定义与性质46

2.1.1 半群与含幺半群46

2.1.2 群的定义47

2.1.3 群的性质50

2.2 子群与群的同态53

2.2.1 子群54

2.2.2 群的同态56

2.3 循环群、变换群与置换群57

2.3.1 循环群58

2.3.2 变换群62

2.3.3 置换群63

2.4 正规子群与商群67

2.4.1 陪集、拉格朗日定理67

2.4.2 正规子群71

2.4.3 商群74

2.5 群同态基本定理76

2.6 群与纠错编码81

2.6.1 线性分组码与汉明重量81

2.6.2 线性码的生成矩阵与校验矩阵85

2.6.3 陪集与译码方法89

小结92

习题92

第3章 环94

3.1 环的定义及其性质95

3.1.1 环的定义95

3.1.2 环的性质97

3.1.3 整环99

3.1.4 除环101

3.2 子环、环同态基本定理104

3.2.1 子环104

3.2.2 环的同态106

3.2.3 理想与商环107

3.2.4 环同态基本定理110

3.3 分式域116

3.4 环的直积、矩阵环、多项式环、序列环121

3.4.1 环的直积与矩阵环121

3.4.2 多项式环122

3.4.3 序列环126

3.5 素理想与极大理想128

3.5.1 素理想128

3.5.2 极大理想130

3.6 唯一分解环131

3.6.1 既约元与素元131

3.6.2 唯一分解环133

3.7 主理想环与欧氏环137

3.7.1 主理想环137

3.7.2 欧氏环138

3.8 环理论在密码学中的应用145

3.8.1 线性同余式与仿射密码146

3.8.2 环中元素的运算与公钥密码算法146

3.8.3 密钥的分散管理150

小结155

习题155

第4章 域158

4.1 域的扩张158

4.1.1 线性空间与复数域的构造158

4.1.2 域的扩张160

4.1.3 一些几何作图问题166

4.2 极小多项式、多项式的分裂域169

4.2.1 极小多项式169

4.2.2 多项式的分裂域173

4.3 有限域176

4.3.1 域的特征177

4.3.2 有限域的结构178

4.4 有限域上的离散对数与密钥交换协议183

4.4.1 两方Diffie-Hellman密钥交换协议184

4.4.2 三方Diffie-Hellman密钥交换协议185

小结185

习题186

参考文献188