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目录1

第1章　矩阵1

1.1　矩阵的概念1

1.2　矩阵的秩8

1.3　矩阵的初等变换9

1.3.1　初等变换的标准形9

1.3.2　Hermite标准形14

1.4　分块矩阵15

习题118

第2章　线性空间与线性变换20

2.1　线性空间的定义20

2.2　线性子空间25

2.2.1　子空间、子空间的直和25

2.2.2　与矩阵A相联的四个重要子空间30

2.3　线性变换32

2.3.1　线性变换的定义和例子32

2.3.2　线性变换的核与象35

2.3.3　坐标变换与线性变换的计算36

2.3.4　线性变换的矩阵38

2.4　不变子空间和导出算子43

2.4.1　不变子空间43

2.4.2　导出算子44

习题245

第3章 内积空间、等距变换47

3.1 内积的定义47

3.2　正交性与Gram-Schmidt正交化方法49

3.3　正交补空间51

3.3.1　正交补空间51

3.3.2　最佳近似52

3.3.3　矛盾方程的最小二乘解53

3.4　选定基下内积的表达式55

3.5　等距变换57

习题360

第4章　特征值与特征向量62

4.1　特征值与特征向量62

4.2　特征多项式与Hamilton-Cayley定理66

4.3　最小多项式73

4.4　特征值的圆盘定理76

习题480

第5章　λ-矩阵与Jordan标准形82

5.1　λ-矩阵82

5.2　不变因子及初等因子86

5.3　Jordan标准形90

5.4　Jordan标准形的其他求法93

5.4.1　幂零矩阵的Jordan标准形93

5.4.2　一般矩阵的Jordan标准形的计算98

习题5102

第6章　特殊矩阵105

6.1　Schur定理105

6.2　正规矩阵107

6.3　实对称矩阵与Hermite阵109

6.4　正交阵与酉阵114

习题6119

第7章　矩阵分析初步121

7.1　赋范线性空间121

7.2　矩阵范数124

7.3　向量和矩阵序列126

7.4　矩阵幂级数131

7.5　矩阵函数134

7.5.1　矩阵函数134

7.5.2　矩阵函数的微分和积分137

7.6　矩阵函数的计算139

7.6.1　eAt的计算（t为参数）139

7.6.2　一般矩阵函数的计算140

习题7145

第8章　矩阵函数的应用147

8.1　矩阵函数在解微分方程组中的应用147

8.1.1　线性常微分方程组的解147

8.1.2　线性常系数非齐次微分方程组的解148

8.1.3　n阶常系数微分方程的解148

8.2　系统的可控性与可观测性153

8.2.1　定常线性系统的能控性问题154

8.2.2　定常线性系统的可观测性问题156

习题8157

第9章　矩阵的分解159

9.1　矩阵的正交三角分解159

9.2　矩阵的满秩分解162

9.3　矩阵的奇异值分解165

9.4　矩阵的谱分解168

9.4.1 正规矩阵的谱分解168

9.4.2　一般可对角化的矩阵的谱分解170

习题9174

第10章　非负矩阵175

10.1　正矩阵175

10.2　不可约非负矩阵178

10.3　随机矩阵182

10.4　M-矩阵185

10.4.1　非奇异M-矩阵的若干特性186

10.4.2　一般M-矩阵的特性189

习题10191

第11章　矩阵的广义逆192

11.1　Moore-Penrose广义逆A＋192

11.1.1　投影算子与投影矩阵192

11.1.2　A＋的定义195

11.2　A＋的计算197

11.2.1　用奇异值分解求A＋197

11.2.2　用A的满秩分解求A＋197

11.2.3　A有正交三角分解时A＋的计算199

11.2.4　用迭代方法计算A＋199

11.3.1　A－的定义200

11.3　广义逆A－200

11.3.2　A－的性质201

11.3.3　A－的计算201

11.4　广义逆矩阵在线性方程组中的应用205

11.4.1　A－与线性方程组的关系205

11.4.2　A＋与线性方程组的关系207

习题11208

第12章　Kronecker积210

12.1　Kronecker积的定义与性质210

12.2　Kronecker积的特征值217

12.3　矩阵的行展开和列展开219

12.4　Kronecker积的应用220

习题12224

参考文献227

习题的提示与答案228