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绪论 椭圆曲线及其在密码学中的应用1

1.引言1

2.牛顿对曲线的分类2

3.椭圆曲线与椭圆积分5

4.椭圆面积的两种求法9

5.阿贝尔，雅可比，艾森斯坦和黎曼15

6.椭圆曲线的加法17

7.椭圆曲线密码体制21

8.北大数学学院学生眼中的Jacobi24

9.E.T.贝尔笔下的Jacobi29

第1章Jacobi定理47

1.单值解析函数的周期47

2.Jacobi定理的证明49

3.西塔函数52

4.刘维尔定理54

5.维尔斯特拉斯函数？（u）58

6.函数？（u）的微分方程62

7.胡作玄论Jacobi椭圆函数与代数函数论65

第2章 模函数89

1.不变式89

2.模形式93

3.函数J（T）的基本领域98

4.模函数J（T）106

5.第一种椭圆积分的反形115

6.“代数真理”对“几何幻想”：维尔斯特拉斯对黎曼的回应117

第3章 维尔斯特拉斯函数135

1.维尔斯特拉斯函数ζ（u）135

2.维尔斯特拉斯函数σ（u）137

3.用函数σ（u）或用函数ζ（u）表示任意的椭圆函数139

4.维尔斯特拉斯函数的加法定理142

5.用函数？及？表示各椭圆函数145

6.椭圆积分148

7.Jacobi的θ函数是次超越函数153

第4章 西塔函数169

1.西塔函数的无穷乘积表示169

2.西格玛函数与西塔函数的关系173

3.函数ζ（u）及？（u）的单级数展开式176

4.量e1，e2，e3用西塔函数零值的表示式表示177

5.西塔函数的变换179

6.Jacobi八平方定理的简证186

第5章Jacobi函数191

1.Jacobi及黎曼型的第一种椭圆积分191

2.Jacobi函数194

3.Jacobi函数的微分法198

4.Jacobi函数Z（w）200

5.欧拉定理202

6.Jacobi定理的第二种及第三种标准椭圆积分205

7.第一种完全椭圆积分208

8.第二种完全椭圆积分217

9.椭圆函数的变态221

10.单摆224

11.椭圆函数的性质及其在偏微分方程中的应用228

第6章 椭圆函数的变换236

1.椭圆函数变换的问题236

2.般问题的简化239

3.第一个主要的一级变换244

4.第二个主要的一级变换246

5.朗道变换248

6.高斯变换250

7.主要的n级变换252

8.椭圆积分的一个性质255

第7章 关于椭圆积分的补充知识259

1.第一种椭圆积分的一般反演公式259

2.具有实不变式的函数？（u）267

3.在实数情形下将椭圆积分化为Jacobi标准型270

4.完全椭圆积分作为超几何函数274

5.按给定的模数k计算h281

6.算术-几何平均值283

附录Ⅰ椭圆曲线的L-级数，Birch -Swinnerton-Dyer猜想和高斯类数问题286

1.Q上椭圆曲线286

2.BSD（ Birch与Swinnerton-Dyer）猜想289

3.Heegner点291

4.应用于高斯类数问题295

5.利用Jacobi椭圆函数法解偏微分方程301

6.非线性演化方程的双周期解323

附录Ⅱ什么是椭圆亏格？348

1.亏格348

2.希策布鲁赫的公式350

3.严格乘性351

4.椭圆亏格352

5.模性353

6.回路空间353

参考文献355

编辑手记358