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第1章 绪论1

1．1 误差与运算误差分析1

1．1．1 数值计算中误差的不可避免性1

1．1．2 绝对误差与相对误差2

1．1．3 有效数字4

1．1．4 运算误差分析8

1．2 关于算法13

1．2．1 算法的基本概念13

1．2．2 数值型算法的特点14

1．2．3 算法设计基本方法16

1．2．4 算法的复杂度26

1．2．5 数值型算法的稳定性30

习题134

第2章 矩阵与线性代数方程组36

2．1 一般线性代数方程组的直接解法36

2．1．1 高斯消去法37

2．1．2 选主元40

2．1．3 高斯-约当消去法41

2．2 带型方程组42

2．2．1 三对角方程组42

2．2．2 一般带型方程组45

2．3 线性代数方程组的迭代解法48

2．3．1 简单迭代法48

2．3．2 高斯-赛德尔迭代法52

2．3．3 松弛法53

2．4 共轭梯度法54

2．4．1 几个基本概念54

2．4．2 共轭梯度法56

2．5 矩阵分解61

2．5．1 矩阵的三角分解61

2．5．2 矩阵的QR分解66

2．6 矩阵求逆71

2．6．1 原地工作的矩阵求逆71

2．6．2 全选主元矩阵求逆75

2．7 托伯利兹系统76

2．7．1 托伯利兹矩阵求逆的快速算法77

2．7．2 求解托伯利兹型线性代数方程组的递推算法82

习题285

第3章 矩阵特征值88

3．1 计算绝对值最大的特征值的乘幂法88

3．2 求对称矩阵特征值的雅可比方法91

3．3 QR方法求一般实矩阵的全部特征值97

3．3．1 QR方法的基本思想97

3．3．2 化一般实矩阵为上H矩阵99

3．3．3 双重步QR方法求矩阵特征值100

习题3104

第4章 非线性方程与方程组106

4．1 方程求根的基本思想106

4．1．1 方程求根的基本过程106

4．1．2 对分法求方程的实根108

4．1．3 简单迭代法109

4．2 埃特金迭代法113

4．3 牛顿迭代法与插值法115

4．3．1 牛顿迭代法115

4．3．2 插值法118

4．4 控制迭代过程结束的条件122

4．5 QR方法求多项式方程的全部根124

4．6 非线性方程组的求解125

4．6．1 牛顿法125

4．6．2 拟牛顿法127

习题4129

第5章 代数插值法131

5．1 插值的基本概念131

5．2 拉格朗日插值法133

5．2．1 拉格朗日插值多项式的构造133

5．2．2 插值多项式的余项135

5．2．3 插值的逼近性质138

5．3 埃特金逐步插值法139

5．4．1 差商及其牛顿插值公式143

5．4 牛顿插值法143

5．4．2 差分与等距结点插值公式146

5．5 埃尔米特插值法150

5．6 样条插值法151

5．6．1 样条函数151

5．6．2 三次样条插值函数的构造152

习题5161

6．1 正交多项式163

第6章 函数逼近与拟合163

6．1．1 正交多项式的构造164

6．1．2 切比雪夫多项式166

6．1．3 勒让德多项式173

6．1．4 其他常用的多项式174

6．2 一致逼近175

6．2．1 一致逼近的基本概念175

6．2．2 最佳一致逼近多项式177

6．2．3 里米兹算法180

6．3．2 最佳均方逼近多项式182

6．3 均方逼近182

6．3．1 均方逼近的基本概念182

6．4 最小二乘曲线拟合184

6．4．1 最小二乘曲线拟合的基本概念184

6．4．2 用正交多项式作最小二乘曲线拟合189

习题6192

第7章 数值积分与数值微分194

7．1 插值求积公式194

7．2 变步长求积法198

7．2．1 变步长梯形求积法199

7．2．2 变步长辛卜生求积法200

7．3 龙贝格求积法201

7．4 高斯求积法203

7．4．1 代数精度的概念203

7．4．2 高斯求积法205

7．4．3 几种常用的高斯求积公式208

7．5 高振荡函数求积法211

7．6 数值微分217

习题7218

第8章 常微分方程数值解220

8．1 常微分方程数值解的基本思想220

8．2 欧拉方法223

8．2．1 基本公式223

8．2．2 误差分析225

8．2．3 步长的自动选择226

8．2．4 改进的欧拉公式228

8．3 龙格-库塔法229

8．4 一阶微分方程组与高阶微分方程232

8．4．1 一阶微分方程组232

8．4．2 高阶微分方程234

8．5 线性多步法235

8．5．1 阿当姆斯方法235

8．5．2 哈明方法237

8．6 常微分方程数值解法的相容性、收敛性与稳定性240

习题8243

9．1．1 连分式的基本概念244

第9章 连分式及其新计算法244

9．1 连分式244

9．1．2 连分式的主要性质246

9．2 函数连分式249

9．2．1 函数连分式的基本概念249

9．2．2 函数连分式的主要性质250

9．2．3 函数连分式的计算252

9．3 变换级数为连分式252

9．4 连分式插值法254

9．4．1 连分式插值的基本概念254

9．4．2 连分式插值函数的构造254

9．4．3 连分式逐步插值256

9．5 方程求根的连分式解法257

9．6 一维积分的连分式解法260

9．7 常微分方程初值问题的连分式解法262

习题9265

参考文献266