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第一部分 离散反演问题1

第一章　一般离散反演问题1

1.1 模型空间和数据空间1

1.1.1　模型空间2

1.1.2　数据空间6

1.1.3　联合空间D×M7

1.1.4　符号8

1.2　信息状态10

1.2.1　概率的数学概念10

1.2.2　概率的解释14

1.2.3　全知状态19

1.2.4　完全无知状态（或参考信息状态）19

1.2.5　信息量的Shannon测度26

1.2.6　信息状态的组合27

1.3　物理理论得到的信息（求解正问题）30

1.4　测量得到的信息和先验信息34

1.4.1　测量结果34

1.4.2　模型参数的先验信息37

1.4.3　D×M空间的联合先验信息47

1.5　确定反演问题的解47

1.5.1　实验、先验和理论信息的组合47

1.5.2　反演问题的求解49

1.5.3　一些特殊情况50

1.6 反问题解的利用55

1.6.1　描述模型空间的后验信息55

1.6.2　误差和分辨分析57

1.6.3　解析解58

1.6.4　模型空间的系统探索59

1.6.5　Monte Carlo法59

1.6.6　最大似然点的计算59

1.7　几种特殊情况61

1.7.1　高斯假设（最小二乘准则）。情况d=g(m)61

1.7.2　高斯假设（最小二乘准则）。情况f(d,m)=070

1.7.3 广义高斯假设（最小绝对值准则，极小极大准则）75

补充1.1 中心估计和离差估计值16

补充1.2　广义高斯型24

补充1.3　对数正态概率密度函数44

补充1.4　利用贝叶斯方法解反演问题53

第一章的问题78

第二章　尝试法151

第二章的问题154

第三章　Monte Carlo法155

3.1 寻找容许模型的范围156

3.2 方差与协方差的非线性计算158

3.3　模拟热处理164

补充3.1　数值积分的Monte Carlo法161

第四章　最小二乘（l2—范数）准则173

4.1 最小二乘法的引入173

4.2　求解方法（Ⅰ）176

4.2.1　模型空间的系统搜索176

4.2.2　尝试法177

4.2.3　松弛法177

4.2.4　Monte Carlo法177

4.2.5　高斯-牛顿法178

4.2.8　解的特征181

4.3　误差和分辨分析182

4.3.1　后验协方差算子的计算182

4.3.2　后验协方差算子的解释184

4.3.3　分辨算子185

4.3.4　特征向量分析187

4.3.5　数据空间中后验协方差算子，数据的重要性184

4.3.6　残差是否太大？195

4.4　离散最小二乘的数学问题197

4.4.1　距离、范数和标积的最小二乘定义197

4.4.2　对偶空间200

4.4.3　S(m)的梯度、海赛（Hesse）算子、最速上升方向和曲率208

4.4.4　梯度法的引入211

4.4.5　最优化方法的选择218

4.5　求解方法（Ⅱ）220

4.5.1　预条件最速下降法220

4.5.2　预条件共轭方向法221

4.5.3　拟牛顿法222

4.5.4　变尺度法223

4.6　线性问题的特殊公式227

4.6.1　预条件最速下降法228

4.6.2　预条件共轭方向法228

4.6.3　牛顿法228

4.6.4　变尺度法229

4.7　可线性化问题的特殊公式229

4.7.1　预条件最速下降法230

4.7.2　预条件共轭方向法230

4.7.3　牛顿法231

4.7.4　变尺度法231

补充4.1　协方差矩阵的平方根190

补充4.2　Lanczos分解191

补充4.3 距离、范数和标积198

补充4.4 “核”的不同意义204

补充4.5　转置算子和伴随算子206

补充4.6　符号O（‖δm‖r）210

补充4.7　梯度和最速上升方向214

补充4.8　什么是代数重建法？226

第四章的问题262

第五章　最小绝对值（l1范数）准则和极小极大（l∞范数）准则271

5.1 lp范数272

5.1.1　加权lp范数的定义272

5.1.2　lp空间的对偶空间273

5.1.3　解反演问题的lp范数准则280

5.2　求解反演问题的l1范数准则283

5.2.1　线性问题283

5.2.2　非线性问题288

5.3 l1范数准则和最速下降法291

5.3.1　梯度和最速上升方向292

5.3.2　算法293

5.4　l1范数准则和线性规划方法295

5.4.1　FIFO方法395

5.4.2　FIFO算法300

5.4.3　应用于非线性问题302

5.5　利用Cauchy概率密度的健全性反演308

5.6　求解反问题的l∞范数准则312

5.7　l∞范数和最速下降法315

5.7.1　梯度和最速上升方向315

5.7.2　算法316

5.8 l∞范数准则和线性规划方法316

补充5.1　lp范数空间内最速上升方向和梯度277

补充5.2　多维指数概率288

补充5.3　线性规划中的单纯形法302

补充5.4 利用线性规划的l1范数极小化305

补充5.5 Cauchy概率密度311

补充5.6　线性规划中的对偶问题318

补充5.7　线性规划中的松弛变量320

附录5.1 lp范数极小化的牛顿步长322

附录5.2　lp范数的梯度法323

第五章的问题336

第二部分　一般反演问题352

第六章　一般问题352

6.1 函数空间的随机过程353

6.1.1　随机函数的描述353

6.1.2　计算概率356

6.1.3　协方差函数可给出随机函数的方便描述吗？361

6.1.4　一般随机过程362

6.2　一般反演问题的解364

补充6.1　作为对偶空间上标积的协方差算子357

补充6.2　柱测度358

补充6.3　Backus的贝叶斯观点（1970）365

第七章　泛函空间中的最小二乘准则368

7.1　协方差算子和适用空间369

7.1.1　线性空间的对偶空间的表示369

7.1.2　协方差算子的定义370

7.1.3　协方差函数以及与之相关的随机实现的某些例子373

7.1.4　随机实现的功率谱等于相关函数的振幅谱380

7.1.5　加权算子、标积和“最小二乘”范数382

7.1.6　最小二乘范数和L2范数的关系386

7.2　泛函空间的微商算子和转置算子386

7.2.1　微商算子386

7.2.2　转置算子396

7.3　一般最小二乘反演410

7.3.1　线性问题410

7.3.2　非线性问题411

7.3.3　可线性化问题412

7.4　求解方法413

7.5　实例：X射线层析成象的反演问题418

7.5.1　迭代解420

7.5.2 牛顿非迭代解426

7.6　实例：声波波形反演429

7.7　误差与分辨分析438

7.7.1　误差分析439

7.7.2　分辨分析440

7.7.3　分辨核与后验协方差函数的实际计算444

7.8　形式上的实例444

补充7.1　微商算子的转置和伴随402

补充7.2　Backus—Gilbert方法414

补充7.3　一阶Born和Rytov近似435

附录7.1 空间和算子：基本定义和性质455

附录7.2　常用泛函空间470

第七章的问题475

参考文献530