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引言1

1 Riemann积分的局限性1

2 Lebesgue积分思想简介5

第一章 集合8

1 集合及其运算8

1.1 集合的基本概念8

1.2 集间关系9

1.3 集合的交、并运算10

1.4 集合的差、余运算12

1.5 集列的极限14

1.6 集的乘积16

习题1.118

2 集与函数20

2.1 与函数相关的集20

2.2 集的特征函数24

习题1.226

3.1 集的对等27

3 集的对等与集的基数27

3.2 集的基数及其比较29

习题1.332

4 可列集33

4.1 可列集的概念33

4.2 可列集的运算34

习题1.437

5 不可列集38

5.1 实数集R1不可列38

5.2 基数c的运算39

5.3 基数无最大的42

习题1.543

第二章 点集45

1 直线上的开集、闭集、完全集45

1.1 直线上的开集45

1.2 直线上的闭集和完全集48

1.3 稠密与疏朗·康托（G.Cantor）集51

习题2.154

2 实数理论和实数集R的完备性55

2.1 实数理论55

2.2 反映实数集R完备性的几个等价条件63

习题2.273

3 Rn中的点集73

3.1 n维欧几里得空间简介73

3.2 Rn中的开集、闭集、完全集75

习题2.377

4 点集间的距离与隔离性定理78

习题2.480

第三章 勒贝格（Lebesgue）测度81

1 引言（测度理论之创立与发展情况简介）81

2 Lebesgue外测度84

2.1 外测度及其性质84

2.2 外测度不具有可列可加性87

3 可测集89

习题3.289

3.1 可测集的定义90

3.2 可测集的性质91

习题3.396

4 可测集类与Borel集类97

4.1 可测集类97

4.2 可测集的结构101

习题3.4102

5 乘积测度104

6 抽象测度110

6.1 环与环上的测度110

6.2 外测度117

6.3 测度的延拓118

第四章 可测函数121

1 可测函数的定义及其基本性质121

1.1 可测函数的定义121

1.2 可测函数的基本性质125

习题4.1128

2 可测函数列的收敛性129

2.1 一致收敛与几乎处处收敛的关系130

2.2 几乎处处收敛与依测度收敛的关系132

习题4.2136

3 可测函数与连续函数的关系137

习题4.3142

4 抽象可测函数142

4.1 抽象可测函数的定义及其基本性质143

4.2 抽象可测函数列的收敛性144

第五章 勒贝格（Lebesgue）积分145

1 非负可测函数的积分145

1.1 非负简单函数的积分145

1.2 非负可测函数的积分及其性质147

习题5.1154

2 一般可测函数的积分156

2.1 积分的定义与初等性质156

2.2 Lebesgue控制收敛定理159

2.3 连续函数平均逼近定理164

习题5.2166

3 Lebesgue积分与Riemann积分的比较169

3.1 有限区间上？积分与R积分的关系169

3.2 积分与广义R积分的关系172

习题5.3174

4 Fubini定理175

习题5.4180

5.1 单调函数的微分性质181

5 微分与不定积分181

5.2 有界变差函数189

5.3 绝对连续函数与微积分基本定理189

习题5.5198

6 斯蒂尔吉斯（Stieltjes）积分200

6.1 Riemann-Stieltjes积分200

6.2 Lebesgue-Stieltjes积分简介208

7 一般测度空间（X,？,μ）上可测函数的积分介绍212

习题5.6212

第六章 函数空间Lp（E）（1≤p＜+∞）214

1 Lp（E）是线性赋范空间214

习题6.1218

2 Lp（E）是完备的距离空间218

习题6.2220

3 Lp（E）空间的可分性222

习题6.3225

4 L2（E）空间225

习题6.4231

第七章 与中学数学有关的若干问题233

1 顺序与大小233

1.1 什么是顺序233

1.2 复数为什么没有大小235

2 函数概念的产生与发展237

2.1 解析的函数概念237

2.2 几何的函数概念238

2.3 科学函数定义的雏形239

2.4 函数概念的精确化240

2.5 函数定义域限制的取消240

2.6 近代函数定义241

2.7 集合函数241

3 曲线242

3.1 连续曲线可填满一个正方形242

3.2 曲线定义介绍245

4 集合论的基础是否可靠247

4.1 罗素悖论247

4.2 选择公理249

附录Ⅰ 勒贝格（Lebesgue）生平简介252

附录Ⅱ 勒贝格对实变函数理论的杰出贡献253

附录Ⅲ 部分高校攻读硕士学位研究生入学考试实变函数试题选集256

附录Ⅳ 部分习题的参考解答与提示269

参考文献294

后记295