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第一章 行列式1

§1 n阶行列式1

1.1 数域1

1.2 二阶、三阶行列式的结构2

1.3 n阶行列式6

§2 行列式的性质和计算9

2.1 行列的互换性质10

2.3 行列式的加法性质12

2.2 数乘行列式的性质12

2.4 行列式的计算举例15

§3 展开定理21

3.1 按行列展开定理22

3.2 Laplace定理27

§4 Cramer定理31

4.1 Cramer定理31

4.2 应用例子34

1.1 n维向量及其线性计算37

§1 n维向量的线性关系37

第二章 线性方程组37

1.2 向量的线性相关与线性无关38

1.3 矩阵和矩阵的秩43

1.4 向量组线性相关和线性无关的判别定理47

1.5 最大线性无关向量组51

§2 矩阵的初等变换54

2.1 矩阵的行初等变换55

2.3 在初等变换下的标准形57

2.2 矩阵的初等变换57

§3 齐次线性方程组67

3．1 同解方程组的概念及其命题67

3．2 关于齐次线性方程组的命题70

3．3 解的结构定理75

§4 非齐次线性方程组82

4．1 有解的充要条件82

4.2 非齐次线性方程组的解83

4.3 解的结构定理88

1.1 矩阵的线性运算96

第三章 矩阵及其在初等变换下的标准形96

§l 矩阵的运算96

1.2 矩阵的乘法98

1.3 行列式的乘法规则101

1.4 短阵的运算与矩阵的秩104

§2 逆矩阵108

2.1 逆矩阵及其求法108

2.2 逆矩阵的基本性质112

2.3 用初等变换求逆矩阵的方法114

3.1 分块矩阵的概念121

§3 分块矩阵121

3.2 分块矩阵的乘法123

3.3 分块初等矩阵125

3.4 分块矩阵法的应用举例126

§4 几种特殊的矩阵130

4.1 对角形矩阵和三角形矩阵130

4.2 对称矩阵和反对称矩阵134

4.3 正交矩阵136

5.1 标准形139

§5 在初等变换下矩阵的标准形139

5.2 标准形的用法140

第四章 对称矩阵在合同变换下的标准形与二次型143

§1 实对称矩阵在合同变换下的标准形143

1.1 例子143

1.2 矩阵间的合同关系及其性质146

1.3 对称矩阵在合同变换下的标准形146

1.4 求合同变换矩阵P的方法150

1.5 惯性定律与实对称矩阵在合同变换下的标准形152

§2 化二次型为平方和的方法160

2.1 二次型160

2.2 二次型的矩阵表示162

2.3 在满秩线性变换下化二次型为平方和163

2.4 用配方方法化二次型为平方和165

§3 实二次型的分类和判别169

3.1 惯性定律和二次型的标准形169

3.2 二次型的分类和判别172

3.3 (半)正定、(半)负定和不定矩阵179

第五章 方阵的相似标准形及其应用182

§1 矩阵的特征值与特征向量182

1.1 矩阵的特征值与特征向量182

1.2 特征值和特征向量的一些性质187

1.3 Schmidt正交化方法191

§2 在相似变换下化方阵为对角形矩阵的条件196

2.1 相似矩阵及其性质196

2.2 相似对角形矩阵的主对角元素和相似变换矩阵197

2.3 在相似变换下方阵化为对角形矩阵的条件198

§3 在相似变换下方阵的标准形211

3.1 实对称矩阵的标准形211

3.2 正交矩阵的标准形220

3.3 与方阵相似的上三角形矩阵225

§4 相似变换下方阵标准形的应用230

4.1 在解决综合性问题方面的应用230

4.2 在解常系数齐次线性方程组方面的应用233

1.1 λ-矩阵的概念243

§1 λ-矩阵及其在等价变换下的标准形243

第六章 矩阵的Jordan标准型243

1.2 λ-矩阵的等价关系245

1.3 λ-矩阵的等价对角形矩阵246

l.4 行列式因子与λ-矩阵的标准形250

§2 λ-矩阵等价、方阵相似的充要条件255

2.1 λ-矩阵可逆、λ-矩阵等价的充要条件255

2.2 初等因子与λ-矩阵等价的充要条件256

2.3 初等因子的求法258

2.4 矩阵相似的充要条件265

§3 矩阵的Jordan标准形268

3.l 矩阵的Jordan标准形268

3.2 矩阵的有理标准形275

3.3 相似变换矩阵的求法278

§4 Hamilton-Cayley定理及其应用282

4.1 Hamilton-Cayley定理282

4.2 最小多项式及其求法284

4.3 矩阵与对角形矩阵相似的充要条件289

1.1 线性空间的概念291

§1 线性空间291

第七章 线性空间和线性变换291

1.2 线性空间的一些简单性质293

1.3 子空间的概念及其判别294

§2 有限维线性空间300

2.1 有限维线性空间的维数和基底300

2.2 子空间的基底和维数304

2.3 坐标和坐标变换306

2.4 线性空间中的同构关系310

3.1 线性变换及其基本性质315

§3 线性空间上的线性变换315

3.2 象子空间和核317

3.3 线性变换的运算321

§4 线性变换与矩阵的对应325

4.1 线性变换与矩阵的对应325

4.2 线性变换对应的矩阵随基底的变化332

4.3 线性变换的特征值与特征向量333

1.1 实内积空间的定义及其基本性质340

§l 实内积空间340

第八章 内积空间340

1.2 度量矩阵342

1.3 Cauchy-Schwartz不等式344

1.4 正交子空间346

§2 标准正交基底349

2.1 标准正交基底349

2.2 标准正交基下的度量关系350

3.1 正交变换353

§3 正交变换353

3.2 正交变换的判别和运算354

3.3 正交变换的几何意义358

§4 复内积空间360

4.1 复内积空间361

4.2 度量矩阵和厄密矩阵362

4.3 长度和角度362

4.4 标准正交基底363

4.5 酉交变换和酉交矩阵363

答案与提示365