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第1章Banach空间微分学1

1.1 Banach空间1

1.1.1 Banach空间与线性算子理论概要1

1.1.2 Sobolev空间与嵌入定理11

1.1.3半序Banach空间与锥17

1.2非线性映射的连续性与有界性24

1.2.1连续性与有界性24

1.2.2泛函的极值25

1.2.3 Nemytski算子28

1.3 Gateaux导数与Frechet导数31

1.3.1抽象函数的积分与微分31

1.3.2 Gateaux导数34

1.3.3 Frechet导数36

1.3.4 Nemytski算子及一类泛函的可微性40

1.3.5高阶导数与Taylor公式46

1.4全连续映射与变分框架50

1.4.1全连续映射及其性质51

1.4.2变分框架54

1.5常微分方程初值问题57

1.5.1局部可解性58

1.5.2解的全局存在定理59

1.6隐函数定理60

1.6.1反函数定理60

1.6.2隐函数定理62

1.6.3广义反函数定理65

1.7分歧与Lyapunov-Schmidt约化67

1.7.1分歧初步67

1.7.2 Lyapunov-Schmidt约化72

1.7.3 Newton迭代程序76

1.7.4小分母问题78

1.8 Hilbert微分流形概要81

第1章习题84

第2章 拓扑方法86

2.1 Brouwer度与不动点定理86

2.1.1 Brouwer度的定义87

2.1.2 Brouwer度的性质94

2.1.3 Brouwer不动点定理与Borsuk定理100

2.2 Leray-Schauder度与不动点定理105

2.2.1 Leray-Schauder度的定义106

2.2.2 Leray-Schauder度的性质108

2.2.3 Leray-Schauder不动点定理与Borsuk定理的推广112

2.3拓扑度理论的应用116

2.3.1 Banach空间中的常微分方程初值问题116

2.3.2半线性椭圆方程的Dirichlet问题118

2.4增算子与上、下解方法124

2.4.1上、下解与单调迭代124

2.4.2上、下解的存在性125

2.5锥映射的拓扑度128

2.5.1锥映射拓扑度的建立128

2.5.2锥映射拓扑度的性质130

2.5.3多重正解的存在性132

第2章习题133

第3章 变分方法136

3.1约束极值与近似极值136

3.1.1约束极值136

3.1.2近似极值与Ekeland变分原理141

3.2形变引理144

3.2.1下降流线与伪梯度向量场145

3.2.2形变引理148

3.3极小极大原理与鞍点定理151

3.3.1极小极大原理151

3.3.2环绕（link）153

3.3.3 Z2指标与S1指标理论159

3.3.4畴数165

3.4临界点定理应用170

3.4.1山路引理在椭圆型边值问题中的应用170

3.4.2环绕在二阶周期系统中的应用173

3.4.3 Z2指标在椭圆边值问题中的应用175

3.5当前变分方法研究的几点注记176

3.5.1变分方法和非线性偏微分方程177

3.5.2 强不定问题180

3.5.3 Kirchhoff问题182

第3章习题183

参考文献186

附录 关于矩阵特征值代数重数与几何重数的注记193