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第一部分 一般理论3

1 基本原理3

1.1 热力学3

1.1.1 宏观、广延和强度性质3

1.1.2 平衡5

1.1.3 热力学四个定律6

1.2 统计力学9

1.2.1 统计哲学9

1.2.2 微正则系综10

1.2.3 正则系综11

1.2.4 巨正则系综15

1.2.5 相和遍历分支17

1.3 量子统计力学17

1.3.1 经典统计力学与量子统计力学的关系18

1.4 量子场论19

参考文献21

2 还原论，现象和模型22

2.1 还原论22

2.2 现象24

2.2.1 单原子绝热体24

2.2.2 双原子绝热体25

2.2.3 液晶28

2.2.4 水28

2.2.5 金属29

2.2.6 氦29

2.2.7 磁转变30

2.3 模型33

2.3.1 连续模型34

2.3.2 晶格模型37

2.4 讨论41

2.5 附录：Bravais晶格42

参考文献44

3 稳定性，存在性和唯一性45

3.1 经典稳定性49

3.1.1 突变势49

3.1.2 稳定性条件49

3.1.3 超稳定性57

3.1.4 多种物质的相互作用59

3.2 量子稳定性61

3.2.1 物质的稳定性61

3.2.2 定理1和定理2的证明63

3.3 热力学极限的存在性和唯一性66

3.3.1 箱边界条件67

3.3.2 周期边界条件69

3.3.3 正则系综中的存在性和唯一性69

3.3.4 巨正则系综中的存在性和唯一性77

3.3.5 压强的连续性78

3.4 一级相变，零点和解析性80

3.5 讨论82

3.6 未解决的问题84

3.7 附录A：正型函数的性质85

3.8 附录B：Fourier变换86

参考文献90

4 关于序的定理92

4.1 硬球和椭球的最密堆积93

4.2 D=1,2各向同性Heisenberg模型中序的缺失97

4.3 D=1,2中结晶序的缺失103

4.4 D=3经典Heisenberg模型（n矢量模型）中铁磁序和反铁磁序的存在性110

4.4.1 铁磁序的机制111

4.4.2 极限（4.123）的证明113

4.4.3 反铁磁性117

4.5 T＞0且D=3量子Heisenberg模型中反铁磁序的存在性118

4.6 T=0且D=2量子Heisenberg模型中反铁磁序的存在性120

4.7 缺失定理120

参考文献122

5 临界现象和标度理论124

5.1 类Ising系统的热力学临界指数和不等式125

5.2 类Ising系统的标度理论128

5.2.1 H=0的标度理论129

5.2.2 H≠0的标度理论132

5.2.3 临界指数等式总结136

5.3 一般系统的标度理论136

5.3.1 经典n矢量Heisenberg模型和量子Heisenberg模型137

5.3.2 Lennard-Jones流体142

5.4 普适性142

5.5 缺失定理143

参考文献145

第二部分 级数和数值方法145

6 Mayer位力展开和Groeneveld定理149

6.1 第二位力系数156

6.2 Mayer第一定理158

6.3 Mayer第二定理160

6.3.1 步骤1160

6.3.2 步骤2162

6.3.3 步骤3164

6.4 非负势和Groeneveld定理167

6.5 位力展开的收敛性173

6.6 Mayer图的计数176

6.7 附录：不可约四点和五点Mayer图178

参考文献180

7 Ree-Hoover位力展开和硬粒子181

7.1 Ree-Hoover展开182

7.2 Tonks气体186

7.3 两维和高维中硬球的位力系数B2-B4189

7.3.1 B2的求值189

7.3.2 B3的求值191

7.3.3 B4的求值194

7.4 B5-B10的蒙特卡罗求值195

7.5 k≥11的硬球位力系数196

7.6 收敛半径和近似物态方程198

7.7 晶格上的平行硬正方形，平行硬立方体和硬六角形202

7.8 凸非球形硬粒子204

7.9 未解决的问题205

参考文献208

8 高密度展开210

8.1 分子动力学211

8.2 硬球和硬盘212

8.2.1 接近密堆积的行为213

8.2.2 硬球的凝固214

8.2.3 硬盘的相变219

8.3 负幂律势222

8.3.1 标度行为223

8.3.2 数值计算224

8.4 有附加方势阱的硬球系统225

8.5 Lennard-Jones势227

8.6 结论228

参考文献230

9 H=0磁体的高温展开232

9.1 D=2,3的经典n矢量模型234

9.1.1 D=2的结果237

9.1.2 D=2数据的定性解释240

9.1.3 D=3的结果242

9.1.4 临界指数243

9.1.5 比率法248

9.1.6 不同近似的估计254

9.2 量子Heisenberg模型255

9.2.1 D=2的结果257

9.2.2 D=3的结果258

9.2.3 结果的分析259

9.3 讨论261

9.4 统计力学与量子场论265

9.5 附录：正方晶格上磁化率的展开系数267

参考文献272

第三部分 精确可解模型277

10 二维Ising模型：结果总结277

10.1 H=0的均匀晶格280

10.1.1 环面上的配分函数280

10.1.2 配分函数的零点281

10.1.3 单位格座体自由能283

10.1.4 T=Tc的配分函数286

10.1.5 自发磁化强度286

10.1.6 行和对角自旋关联函数287

10.1.7 一般M,N的关联函数C(M,N)295

10.1.8 标度极限297

10.1.9 体磁化率302

10.1.10 对角磁化率306

10.2 H=0均匀晶格的边界性质309

10.2.1 Hb=0的边界自由能309

10.2.2 边界磁化强度M1(Hb)310

10.2.3 边界自旋关联函数312

10.2.4 解析延拓和磁滞314

10.3 层状随机晶格316

10.4 H≠0的Ising模型319

10.4.1 圆定理319

10.4.2 虚磁场H/kBT=iπ/2319

10.4.3 小H的展开321

10.4.4 H＞0的T=Tc322

10.4.5 扩充的解析性323

参考文献324

11 Ising模型的Pfaffian解328

11.1 二聚体329

11.1.1 自由边界条件晶格上的二聚体330

11.1.2 柱体上的二聚体337

11.1.3 亏格数g≥1晶格上的二聚体338

11.1.4 Pfaffian的显式求值339

11.1.5 热力学极限344

11.1.6 其他晶格和边界条件345

11.2 Ising配分函数347

11.2.1 圆环（周期）边界条件347

11.2.2 圆柱边界条件354

11.3 关联函数355

11.3.1 关联函数＜σM,N'σM,N＞355

11.3.2 对角关联函数＜σ0,0σN,N＞359

11.3.3 近边界的关联函数360

参考文献361

12 Ising模型的自发磁化强度和形状因子363

12.1 Weiner-Hopf累加方程364

12.1.1 Fourier变换364

12.1.2 分裂和因子化366

12.1.3 解367

12.2 自发磁化强度和Szeg？定理368

12.2.1 Szeg？定理的证明369

12.2.2 自发磁化强度374

12.3 C（N,N）和C（0,N）的形状因子展开375

12.3.1 T＜Tc的展开375

12.3.2 T＞Tc的展开386

12.4 C（N,N）和C（0,N）在N→∞的渐近展开392

12.4.1 T＜Tc大N展开392

12.4.2 T＞Tc大N展开393

12.4.3 T=Tc大N展开393

12.5 对角形状因子积分的求值398

12.5.1 微分方程399

12.5.2 因子化和直和399

12.5.3 算符的同态402

12.5.4 对称幂402

12.5.5 结果404

12.5.6 讨论406

参考文献407

13 星—三角（杨-Baxter）方程408

13.1 历史概述408

13.2 转移矩阵412

13.2.1 转移矩阵的显式415

13.2.2 物理区域416

13.3 可积性417

13.4 顶点模型的星—三角方程418

13.4.1 两态顶点模型的Boltzmann权419

13.4.2 顶点—自旋对应436

13.4.3 非均匀晶格439

13.5 自旋模型的星—三角方程440

13.5.1 手征Potts模型440

13.5.2 星—三角方程的证明448

13.5.3 Rpqr的确定451

13.6 面模型的星—三角方程452

13.6.1 SOS模型和RSOS模型452

13.6.2 硬六角模型457

13.7 Hamilton极限464

13.7.1 八顶点模型和六顶点模型的自旋链466

13.7.2 手征Potts模型的自旋链469

13.8 附录：θ函数的性质472

参考文献477

14 八顶点模型和XYZ模型480

14.1 历史概述481

14.2 八顶点模型的矩阵TQ方程484

14.2.1 变形θ函数486

14.2.2 矩阵Q72（v）的形式构造488

14.2.3 QR（v）和QL（v）的显式构造489

14.2.4 交换关系498

14.2.5 非奇异性和非退化性508

14.2.6 准周期性509

14.3 本征值和自由能514

14.3.1 本征值的形式514

14.3.2 Q72（v）的本征值的数值研究516

14.3.3 Bethe方程526

14.3.4 自由能的计算528

14.4 八顶点模型和六顶点模型的激发、序参数和关联函数537

14.4.1 八顶点模型的极化强度P8和XYZ序538

14.4.2 八顶点模型的磁化强度M8541

14.4.3 XY模型的关联函数542

14.4.4 XYZ模型的关联函数550

14.5 附录：变形θ函数的性质552

参考文献557

15 硬六角模型，RSOS模型和手征Potts模型562

15.1 硬六角模型和RSOS模型562

15.1.1 历史概述562

15.1.2 0≤z≤zc的硬六角模型565

15.1.3 zc≤z＜∞的硬六角模型571

15.1.4 讨论574

15.2 手征Potts模型575

15.2.1 历史概述575

15.2.2 实正Boltzmann权578

15.2.3 超可积手征Potts模型和Onsager代数585

15.2.4 N=3超可积情况的泛函方程588

15.2.5 小λ超可积模型的基态能量590

15.2.6 单粒子激发和能级交叉595

15.2.7 序参数598

15.2.8 自旋链的相图599

15.3 未解决的问题600

15.3.1 Q算符601

15.3.2 八顶点模型的退化子空间602

15.3.3 八顶点模型在单位根的对称代数603

15.3.4 手征Potts模型的关联函数603

参考文献605

第四部分 结论613

16 还原论与复杂性613

16.1 历史相关吗？613

16.2 尺寸是重要的615

16.3 可积性佯谬616

16.4 结论617

参考文献618

索引619