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§1.1 复数1

1.1.1　复数的定义1

第一章　预备知识1

1.1.2　复平面与复数的模及辐角2

1.1.3　复数的其他表示法3

§1.2　复数的运算5

1.2.1　复数域5

1.2.2　复数的乘积与商的几何意义7

1.2.3　复数的乘幂与方根8

§1.3 复球面与无穷远点10

§1.4　复平面上的点集11

1.4.1　平面点集的几个概念11

1.4.2　平面图形的复数表示14

思考题一17

习题一18

2.1.1　复变函数的概念20

第二章　解析函数20

§2.1 复变函数20

2.1.2　极限与连续24

§2.2 解析函数27

2.2.1　复变函数的导数27

2.2.2　解析函数28

§2.3　解析函数的充分必要条件30

§2.4 解析函数与调和函数的关系34

§2.5　初等解析函数36

2.5.1　指数函数36

2.5.2　对数函数38

2.5.3　幂函数42

2.5.4　三角函数和双曲函数44

思考题二46

习题二47

3.1.1　复积分的定义及其计算50

第三章 复变函数的积分50

§3.1 复变函数的积分及其性质50

3.1.2　复积分的性质54

§3.2　柯西积分定理58

3.2.1　柯西（Cauchy）积分定理58

3.2.2　原函数定理63

§3.3　柯西积分公式67

3.3.1　柯西积分公式67

3.3.2　解析函数的积分平均值定理70

3.3.3　调和函数的平均值性质及泊松（Poisson）公式71

§3.4　解析函数的无穷可微性73

3.4.1　高阶导数的柯西积分公式74

3.4.2　柯西不等式和柳维尔（Liouville）定理77

思考题三79

习题三80

4.1.1　复数序列与复数项级数84

§4.1 复数项级数与幂级数84

第四章　级数84

4.1.2　复函数序列与复函数项级数86

4.1.3　幂级数的敛散性87

4.1.4　幂级数的收敛半径R的求法90

4.1.5　幂级数和函数的解析性91

§4.2 台劳（Taylor）级数92

4.2.1　台劳定理92

4.2.2　一些初等函数的台劳展开式95

§4.3 解析函数零点的孤立性及唯一性定理98

§4.4 罗朗（Laurent）级数102

4.4.1　双边级数的收敛性102

4.4.2　罗朗定理104

思考题四111

习题四114

5.1.1　孤立奇点的分类118

第五章　留数118

§5.1　孤立奇点的分类及其性质118

5.1.2　孤立奇点的性质120

5.1.3　解析函数在无穷远点的性态124

§5.2 留数定理127

5.2.1 留数的定义及留数定理127

5.2.2　留数计算128

5.2.3　无穷远点处的留数137

§5.3 留数定理的应用143

5.3.1 ？R（cosθ，sinθ）dθ型积分143

5.3.2 ？f（x）dx型积分145

5.3.3 ？e？f（x）dx型积分（α＞0）148

5.3.4　积分路径（实轴）上有单极点的积分150

5.3.5　另一些类型积分举例154

思考题五156

习题五158

6.1.1　导数的几何意义161

第六章　保角映射161

§6.1　保角映射的概念161

6.1.2　保角映射的概念及几个一般性定理163

§6.2　若干初等函数所确定的映射165

6.2.1　整线性映射165

6.2.2　倒数映射167

6.2.3　幂函数映射170

6.2.4　指数函数与对数函数映射171

§6.3　分式线性映射174

6.3.1　分式线性映射175

6.3.2　三对点的对应唯一确定一个分式线性映射176

6.3.3　两个重要的分式线性映射180

§6.4　举例182

§6.5　保角映射的应用186

6.5.1　拉普拉斯方程的边值问题186

6.5.2　热传导问题188

6.5.3　电位分布190

思考题六192

习题六193

第七章　拉普拉斯变换198

§7.1　拉氏变换的基本概念198

7.1.1　拉氏变换的定义198

7.1.2　拉氏变换的存在定理199

§7.2　拉氏变换的基本性质202

7.2.1　线性性质202

7.2.2　平移性质204

7.2.3　微分性质207

7.2.4　积分性质208

7.2.5　极限性质210

7.2.6　卷积性质211

7.3.1　拉氏变换的反演公式214

§7.3　拉氏逆变换214

7.3.2　利用留数理论计算象原函数215

7.3.3　利用展开定理计算象原函数218

§7.4　δ函数简介及其拉氏变换219

7.4.1　δ函数的概念219

7.4.2　δ函数的拉氏变换224

§7.5　拉氏变换的应用225

7.5.1　常系数线性常微分方程的初值问题226

7.5.2　常系数线性常微分方程组的初值问题228

7.5.3　某些微分积分方程的初值问题232

习题七233

附录Ⅰ 留数公式表237

附录Ⅱ 某些定积分的计算公式239

附录Ⅲ 拉氏变换主要公式表241

附录Ⅳ 拉氏变换简表242

习题答案251