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第一章 集合论基础1

1.1 集合的基本概念2

习题1.16

1.2 关系7

1.2.1 关系的基本概念及其性质7

1.2.2 等价关系12

1.2.3 部分序关系16

习题1.218

1.3 映射19

1.3.1 集合的基数20

1.3.2 可数集合21

1.3.2 不可数集合23

1.4.1 关系在关系数据库中的应用25

1.4 集合在计算机科学中的应用25

习题1.325

1.4.2 关系代数与数据子语言30

1.4.3 等价关系在计算机中的应用32

1.4.4 序关系在项目管理中的应用33

第二章 命题逻辑35

2.1 命题以及逻辑联结词36

2.1.1 命题36

2.1.2 逻辑联结词37

习题2.139

2.2 命题公式39

2.2.1 公式39

2.2.2 解释40

习题2.241

2.3.1 公式的等价42

2.3 命题公式的等价关系和蕴涵关系42

2.3.2 公式的蕴涵43

2.3.3 演绎44

2.3.4 公式蕴涵的证明方法46

习题2.347

2.4 范式48

2.4.1 析取范式和合取范式48

2.4.2 主析取范式和主合取范式49

2.4.3 恒真恒假性的判定51

习题2.453

2.5 命题逻辑在二值逻辑器件和语句逻辑中的应用53

3.1 谓词逻辑的基本概念56

3.1.1 谓词和量词56

第三章 谓词逻辑56

3.1.2 改名规则58

习题3.159

3.2 谓词公式60

3.2.1 公式60

3.2.2 解释60

习题3.262

3.3 谓词公式的等价关系和蕴涵关系62

3.3.1 公式的等价和蕴涵62

3.3.2 谓词演算的推理理论64

习题3.366

3.4 范式67

3.4.1 前束范式67

3.4.2 Skolem范式68

习题3.470

3.6 谓词逻辑的应用74

3.6.1 谓词逻辑与数据子语言74

习题3.574

6.3.2 谓词逻辑与逻辑程序设计语言76

第四章 图与网络84

4.1 图85

4.1.1 图的基本概念85

4.1.2 权图Dijkstra算法89

习题4.192

4.2 树93

4.2.1 树及其等价命题93

4.2.2 最优树Kruskal算法95

4.2.3 求最优树的其他算法97

4.3 有向图 Euler路99

习题4.299

4.3.1 有向图与有向树100

4.3.2 Euler路 Euler图103

4.3.3 无向图 无向图中的Euler路107

习题4.3108

4.4 Hamilton图109

4.4.1 Hamilton路Hamilton图的必要条件110

4.4.2 Hamilton图的若干充分条件111

习题4.4117

4.5 平面图117

4.5.1 平面图判定 Kuratowski判定准则117

4.5.2 平面图的Eulet公式120

4.5.3 平面图的对偶图 Plato体122

4.5.4 平面图的着色124

习题4.5125

4.6 匹配 二部图127

习题4.6132

4.7 Konig无限性引理132

习题4.7135

4.8 网络优化算法136

4.8.1 图与网络的数据结构136

4.8.2 单源最短路径问题具体算法及实现和比较139

4.8.3 最大流问题具体算法及实现和比较141

习题4.8152

第五章 数论基础153

5.1 整除性 辗转相除154

5.1.1 整除及其性质154

5.1.2 辗转相除156

5.1.3 利用数的数码特征判别某些整除性159

习题5.1160

5.2 互质 质因数分解161

5.2.1 整数互质161

5.2.2 质数与合数 算术基本定理163

习题5.2164

5.3 合同 一次同余式166

5.3.1 合同及其性质166

5.3.2 剩余类 一次同余式168

习题5.3170

5.4 秦九韶定理 Euler函数171

5.4.1 一次同余式组 秦九韶定理171

5.4.2 一元高次同余式的化简173

5.4.3 剩余系遍历 Euler函数174

习题5.4177

5.5 一元高次同余式 二次剩余178

5.5.1 一元高次同余式的解178

5.5.2 二次同余式 二次剩余181

5.5.3 二次剩余的判定 Legendre符号182

习题5.5185

5.6 数论在计算机通信安全中的应用187

5.6.1 密码系统187

5.6.2 凯撒密码188

5.6.3 Vigenere密码189

5.6.4 Hill加密算法189

5.6.5 RSA公钥系统190

习题5.6192

第六章 群与环193

6.1 代数系统194

习题6.1196

6.2 群的定义197

6.2.1半群197

6.2.2 群198

6.2.3 群的性质199

习题6.2201

6.3 置换群202

6.3.1 转换的定义202

6.3.2 置换的轮换表法203

6.3.3 置换的顺向圈表示205

6.3.4 置换的奇偶性206

习题6.3208

6.4.2 子群的判别条件209

6.4.1 子群的定义209

6.4 子群及其陪集209

6.4.3 循环群210

6.4.4 陪集213

习题6.4215

6.5 同构及同态216

6.5.1 同态映射216

6.5.2 同构映射217

6.5.3 同态核219

习题6.5221

6.6 环222

6.6.1 环的定义222

6.6.2 环的性质223

习题6.6227

6.7.1 理想228

6.7 环同态228

6.7.2 环中合同关系229

6.7.4 单纯环与极大理想232

习题6.7233

6.8 群与环在计算机科学中的应用234

6.8.1 计数问题234

6.8.2 纠错码239

第七章 多项式 有限域250

7.1 域的特征 素域250

7.1.1 域的特征250

7.1.2 素域251

习题7.1253

7.2 多项式的整除性253

7.3 多项式的根258

习题7.2258

习题7.3262

7.4 有理域上的多项式263

习题7.4266

7.5 分圆多项式267

7.5.1 复数域上的分圆多项式267

7.5.2 任意域上的分圆多项式271

习题7.5273

7.6 有限域274

习题7.6277

7.7 多项式编码方法及其实现277

习题7.7281

8.1 引言282

第八章 格与布尔代数282

8.2 格的定义283

习题8.2287

8.3 格的性质287

8.3.1 对偶原理287

8.3.2 格的其他性质289

8.3.3 格的同态与同构291

习题8.3294

8.4 几种特殊的格295

8.4.1 有界格295

8.4.2 有余格296

8.4.3 分配格297

8.4.4 模格298

习题8.4301

8.5.1 布尔代数的定义及其性质302

8.5 布尔代数302

8.5.2 有限布尔代数的表示理论307

8.5.3 布尔代数的同态与同构311

习题8.5313

8.6 布尔表达式的化简问题314

习题8.6325

8.7 格与布尔代数在计算机科学中的应用326

8.7.1 开关电路函数326

8.7.2 逻辑门328

8.7.3 全加器的逻辑设计328

第九章 语言和有限状态机331

9.1 语言和语法331

9.1.1 语法结构333

9.1.2 语法结构的类型335

9.1.3 演绎树336

9.1.4 Backus-Naur form337

习题9.1338

9.2 带有输出的有限状态机339

习题9.2344

9.3 没有输出的有限状态机345

习题9.3350

9.4 语言识别350

9.4.1 正则集合350

9.4.2 KLEENE定理352

9.4.3 其他几种类型的有限状态机358

习题9.4358

9.5 Turing机361

习题9.5365

参考文献367