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第一章 行列式1

第一节 n阶行列式的定义1

一、基本内容提要1

1.排列及其逆序数1

2.有关排列的主要结论1

3.n阶行列式的定义1

二、重点、难点与疑点问答2

三、典型例题3

1.有关排列与逆序的问题3

2.有关行列式定义的问题4

3.按定义计算行列式5

第二节 行列式的计算7

一、基本内容提要7

1.行列式的性质7

2.余子式与代数余子式7

3.按行（列）展开公式7

4.一些特殊行列式的值8

5.按κ行（列）展开定理9

二、重点、难点与疑点问答9

三、典型例题11

1.应用行列式的性质11

2.化为上（下）三角形行列式13

3.按行（列）展开公式的应用16

4.递推公式法与数学归纳法19

5.利用范德蒙德行列式23

6.分块行列式25

单元复习题27

第二章 矩阵及其运算31

第一节 矩阵及其运算31

一、基本内容提要31

1.矩阵的概念31

2.一些特殊的矩阵31

3.矩阵的运算及性质32

4.特殊矩阵的重要结果33

二、重点、难点与疑点问答33

三、典型例题37

1.矩阵的基本运算37

2.求方阵的幂38

3.对称矩阵和反对称矩阵39

第二节 逆矩阵41

一、基本内容提要41

1.逆矩阵的概念41

2.矩阵可逆的充分必要条件41

3.逆矩阵的性质41

4.利用公式求逆矩阵41

5.方阵的行列式41

6.有关伴随矩阵的结果42

二、重点、难点与疑点问答42

三、典型例题43

1.利用定义与公式求逆矩阵43

2.有关矩阵可逆性的证明45

3.方阵的多项式问题47

4.有关伴随矩阵的性质48

5.方阵行列式的计算49

6.解矩阵方程50

第三节 克拉默（Cramer）法则53

一、基本内容提要53

1.克拉默法则53

2.等价说法53

3.齐次方程组的情形53

二、重点、难点与疑点问答54

三、典型例题54

第四节 矩阵分块法59

一、基本内容提要59

1.分块矩阵的概念59

2.常用的分块方法59

3.分块矩阵的运算及性质59

二、重点、难点与疑点问答60

三、典型例题61

单元复习题66

第三章 矩阵的初等变换与线性方程组70

第一节 矩阵的初等变换与初等矩阵70

一、基本内容提要70

1.矩阵的初等变换与初等矩阵70

2.等价矩阵与等价标准形71

3.初等矩阵与初等变换的性质71

4.利用初等变换求逆矩阵72

5.利用初等变换解矩阵方程72

二、重点、难点与疑点问答72

三、典型例题74

第二节 矩阵的秩80

一、基本内容提要80

1.矩阵的秩的概念80

2.初等变换与矩阵的秩80

3.有关矩阵秩的公式80

4.利用初等变换求矩阵的秩80

二、重点、难点与疑点问答81

三、典型例题82

1.计算矩阵的秩82

2.关于非零子式84

3.有关矩阵秩的证明题85

第三节 线性方程组的解90

一、基本内容提要90

1.n元线性方程组90

2.齐次线性方程组有非零解的条件90

3.非齐次线性方程组有解的条件90

4.利用初等变换解线性方程组90

二、重点、难点与疑点问答91

三、典型例题92

单元复习题98

第四章 向量组的线性相关性102

第一节 向量组的线性相关性102

一、基本内容提要102

1.n维向量的概念102

2.向量的线性运算102

3.向量组的线性相关性概念103

4.线性相关性的理论103

5.一些有用的结果104

二、重点、难点与疑点问答104

三、典型例题106

1.线性相关的基本概念106

2.判断向量组的线性相关性109

3.有关线性表示的问题115

第二节 向量组的秩119

一、基本内容提要119

1.向量组的等价119

2.极大线性无关组的概念119

3.向量组的秩120

4.向量组的秩与矩阵的秩的关系120

5.向量组的秩的求法120

二、重点、难点与疑点问答120

三、典型例题122

1.求向量组的秩与极大无关组122

2.求相应的参数124

3.有关向量组秩的证明题126

第三节 线性方程组的解的结构130

一、基本内容提要130

1.齐次线性方程组解的结构与基础解系130

2.非齐次线性方程组解的结构130

3.n元齐次线性方程组Am×nx=0有非零解的条件130

4.非齐次线性方程组Am×nx=b有解的充分必要条件131

二、重点、难点与疑点问答131

三、典型例题133

1.求解线性方程组（用基础解系表示）133

2.同解方程与公共解问题137

3.基础解系与解的结构142

4.解的理论的应用147

第四节 向量空间150

一、基本内容提要150

1.n维向量空间的概念150

2.维数与基150

3.基变换与坐标变换150

二、重点、难点与疑点问答150

三、典型例题152

单元复习题156

第五章 相似矩阵及二次型160

第一节 向量的内积160

一、基本内容提要160

1.内积的概念160

2.长度与夹角161

3.标准（规范）正交基161

4.施密特正交化方法161

5.正交矩阵与正交变换162

二、重点、难点与疑点问答162

三、典型例题163

第二节 方阵的特征值与特征向量167

一、基本内容提要167

1.特征值与特征向量167

2.求特征值与特征向量的步骤167

3.特征值与特征向量的性质167

二、重点、难点与疑点问答168

三、典型例题169

1.求给定矩阵的特征值与特征向量169

2.伴随矩阵、正交矩阵等的特征值175

3.有关特征值的和与积176

4.已知特征值、特征向量及其性质的问题178

第三节 相似矩阵与矩阵的对角化180

一、基本内容提要180

1.相似矩阵180

2.相似矩阵的性质180

3.矩阵的相似对角化180

二、重点、难点与疑点问答181

三、典型例题182

1.关于相似矩阵的概念182

2.方阵的对角化问题187

3.求方阵的高次幂194

第四节 实对称矩阵的相似对角化199

一、基本内容提要199

1.实对称矩阵的对角化199

2.正交矩阵Q的求法199

二、重点、难点与疑点问答199

三、典型例题200

第五节 二次型及其标准形207

一、基本内容提要207

1.二次型及其矩阵表示207

2.可逆线性变换207

3.矩阵的合同208

4.（实）二次型的标准形与规范形208

5.化实二次型为标准形的方法208

二、重点、难点与疑点问答209

三、典型例题211

1.二次型及其矩阵表示211

2.正交变换法212

3.由标准形求参数及正交变换218

4.有关二次型的秩及其矩阵的特征值问题221

5.配方法223

第六节 正定二次型227

一、基本内容提要227

1.正定二次型227

2.（顺序）主子式227

3.实二次型（实对称矩阵）正（负）定的充分必要条件227

二、重点、难点与疑点问答228

三、典型例题228

1.确定二次型的正定性228

2.判定定理及应用231

单元复习题236

第六章 线性空间与线性变换241

第一节 线性空间241

一、基本内容提要241

1.线性空间的概念241

2.简单性质242

3.线性子空间242

4.维数、基、坐标242

5.基变换和坐标变换242

6.线性空间的同构243

7.常见的线性空间243

二、重点、难点与疑点问答244

三、典型例题244

1.判定集合是否构成线性空间244

2.关于子空间的判定与证明246

3.关于线性空间的维数、基与坐标248

4.求不同基之间的过渡矩阵及坐标变换250

第二节 线性变换254

一、基本内容提要254

1.线性变换的概念254

2.线性变换的基本性质254

3.线性变换的矩阵表示254

4.线性变换在不同基下的矩阵互相相似255

二、重点、难点与疑点问答255

三、典型例题255

1.判定变换是否为线性变换255

2.求线性变换在某组基下的矩阵257

3.有关线性变换的性质、值域和核259

单元复习题262

部分参考答案与提示265

第一章单元复习题265

第二章单元复习题267

第三章单元复习题268

第四章单元复习题270

第五章单元复习题271

第六章单元复习题274