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第1篇 积分变换3

第1章 傅里叶变换3

1.1 傅里叶级数3

1.1.1 历史与背景3

1.1.2 周期现象3

1.1.3 傅里叶级数4

1.1.4 频谱分析8

1.1.5 相关应用11

1.2 傅里叶变换13

1.2.1 傅里叶积分13

1.2.2 傅里叶变换18

1.2.3 频谱分析23

1.2.4 多元傅里叶变换25

1.3 广义傅里叶变换28

1.3.1 狄拉克函数28

1.3.2 广义傅里叶变换32

1.4 傅里叶变换的性质34

1.4.1 基本性质34

1.4.2 能量积分42

1.5 卷积46

1.5.1 卷积的概念46

1.5.2 卷积的基本性质48

1.5.3 卷积定理50

1.5.4 卷积的应用54

1.6 傅里叶变换的应用59

1.6.1 积分方程求解59

1.6.2 线性常微分方程求解62

1.6.3 线性偏微分方程求解64

1.6.4 在数理统计中的应用66

第2章 拉普拉斯变换70

2.1 拉普拉斯变换概念与存在定理70

2.1.1 引言70

2.1.2 拉普拉斯变换的概念71

2.1.3 存在定理72

2.1.4 间断点的处理73

2.2 拉普拉斯变换的性质79

2.2.1 基本性质80

2.2.2 陶伯定理与沃森引理93

2.3 拉普拉斯卷积100

2.3.1 拉普拉斯卷积的概念100

2.3.2 拉普拉斯卷积定理102

2.4 拉普拉斯逆变换106

2.4.1 反演积分公式106

2.4.2 逆变换的求法110

2.5 拉普拉斯变换的应用116

2.5.1 计算广义积分116

2.5.2 线性常微分方程求解119

2.5.3 线性积分方程求解121

2.5.4 线性偏微分方程边值问题123

2.5.5 其他应用128

第2篇 场论137

第3章 矢量与矢量空间137

3.1 矢量代数137

3.1.1 引言137

3.1.2 矢量的概念138

3.1.3 矢量代数139

3.2 内积与外积142

3.2.1 内积142

3.2.2 外积143

3.2.3 三连乘公式145

3.3 线、平面与曲面147

3.3.1 线与平面147

3.3.2 曲面151

第4章 矢量分析156

4.1 矢性函数156

4.1.1 矢性函数的概念156

4.1.2 矢性函数极限与连续性157

4.2 矢性函数的导数与微分158

4.2.1 矢性函数的导数159

4.2.2 导矢的几何意义与物理意义162

4.2.3 矢性函数的微分163

4.3 矢性函数的积分165

4.3.1 定积分165

4.3.2 不定积分166

第5章 场论169

5.1 场169

5.1.1 场的概念169

5.1.2 数量场与等值面169

5.1.3 矢量场与矢量线171

5.2 方向导数与梯度175

5.2.1 方向导数175

5.2.2 梯度的概念180

5.2.3 梯度的应用184

5.3 散度与旋度187

5.3.1 散度187

5.3.2 旋度190

5.3.3 雅可比矩阵求散度和旋度193

5.4 积分定理195

5.4.1 高斯散度定理195

5.4.2 斯托克斯定理200

5.4.3 格林定理204

5.5 几个重要的矢量场205

5.5.1 有势场206

5.5.2 管形场210

5.5.3 调和场212

附录Ⅰ 傅里叶分析发展历史简介217

附录Ⅱ 矢量分析发展历史简介220

附录Ⅲ 傅里叶变换简表222

附录Ⅳ 拉普拉斯变换简表225