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《俄罗斯数学教材选译》序1

第十五章 数项级数1

1.导引1

234.基本概念1

235.简单定理3

2.正项级数的收敛性5

236.正项级数收敛性条件5

237.级数比较定理7

238.例8

239.柯西检验法及达朗贝尔检验法10

240.拉比检验法12

241.麦克劳林-柯西积分检验法14

3.任意级数的收敛性16

242.收敛性原理16

243.绝对收敛性17

244.交错级数19

4.收敛级数的性质21

245.可结合性21

246.绝对收敛级数的可交换性22

247.非绝对收敛级数的情形23

248.级数乘法25

5.无穷乘积28

249.基本概念28

250.简单定理·与级数的关系29

251.例31

6.初等函数的幂级数展开式33

252.泰勒级数33

253.指数函数及主要三角函数的级数展开式35

254.欧拉公式36

255.反正切的展开式38

256.对数级数38

257.斯特林公式40

258.二项式级数41

259.关于余项研究的一个笺注42

7.用级数作近似计算43

260.问题的提出43

261.7π的计算44

262.对数的计算46

第十六章 函数序列及函数级数48

1.一致收敛性48

263.导言48

264.一致收敛性及非一致收敛性49

265.一致收敛性条件52

2.级数和的函数性质54

266.级数和的连续性54

267.正项级数的情形55

268.逐项取极限57

269.级数的逐项积分58

270.级数的逐项微分61

271.不可导连续函数一例62

3.幂级数及多项式级数64

272.幂级数收敛区间64

273.幂级数和的连续性66

274.收敛区间端点上的连续性67

275.幂级数的逐项积分69

276.幂级数的逐项微分70

277.幂级数作为泰勒级数72

278.连续函数展为多项式级数72

4.级数简史75

279.牛顿及莱布尼茨时期75

280.级数理论的形式发展时期77

281.严密理论的建立79

第十七章 反常积分81

1.带无限积分限的反常积分81

282.带无限积分限的积分定义81

283.积分学基本公式的应用82

284.与级数的相似性·简单定理84

285.正函数情形的积分收敛性85

286.一般情形的积分收敛性86

287.更精致的检验法87

2.无界函数的反常积分90

288.无界函数积分定义90

289.积分学基本公式的应用91

290.积分收敛性条件及检验法92

3.反常积分的变换及计算94

291.反常积分的分部积分法94

292.反常积分中的变量替换95

293.积分的技巧计算法96

第十八章 带参变量的积分100

1.基本理论100

294.问题的提出100

295.一致趋于极限函数100

296.积分号下取极限102

297.积分号下的微分法103

298.积分号下的积分法105

299.积分限带参变量的情形106

300.例108

2.积分的一致收敛性108

301.积分一致收敛性定义108

302.一致收敛性的条件及充分检验法110

303.带有限积分限的积分112

3.积分一致收敛性的应用113

304.积分号下取极限113

305.积分依参变量的积分法116

306.积分依参变量的微分法117

307.关于带有限积分限的积分的一个笺注118

308.一些反常积分的计算118

4.欧拉积分123

309.第一类欧拉积分123

310.第二类欧拉积分124

311.Γ函数的简单性质125

312.例129

313.关于两个极限运算次序对调的史话130

第十九章 隐函数·函数行列式133

1.隐函数133

314.一元隐函数概念133

315.隐函数的存在及性质135

316.多元隐函数138

317.由方程组确定的隐函数139

318.隐函数导数的计算143

2.隐函数理论的一些应用147

319.相对极值147

320.拉格朗日不定乘数法149

321.例及习题150

322.函数独立性概念152

323.函数矩阵的秩153

3.函数行列式及其形式的性质156

324.函数行列式156

325.函数行列式的乘法157

326.函数矩阵的乘法159

第二十章 线积分162

1.第一型线积分162

327.第一型线积分162

328.化为寻常定积分164

329.例165

2.第二型线积分167

330.第二型线积分定义167

331.第二型线积分的存在及其计算169

332.闭路的情形·平面的定向法171

333.例172

334.两种类型线积分间的关系174

335.在物理问题上的应用175

第二十一章 二重积分178

1.二重积分定义及简单性质178

336.柱体体积问题178

337.化二重积分为累次积分179

338.二重积分定义181

339.二重积分存在条件182

340.可积函数类183

341.可积函数及二重积分的性质185

342.积分作为可加性区域函数·对区域的微分法187

2.二重积分的计算189

343.化矩形区域上的二重积分为累次积分189

344.化曲线区域上二重积分为累次积分192

345.力学上的应用197

3.格林公式200

346.格林公式的推导200

347.以线积分表示面积202

4.线积分与积分道路无关的条件203

348.沿简单闭界线的积分203

349.沿联结任意两点的曲线的积分205

350.与恰当微分问题的联系207

351.在物理问题上的应用209

5.二重积分的变量替换211

352.平面区域的变换211

353.以曲线坐标表示面积214

354.补充说明217

355.几何的推导法218

356.二重积分中的变量替换220

357.与单积分的相似·定向区域上的积分222

358.例222

359.史话225

第二十二章 曲面面积·面积分227

1.双侧曲面227

360.曲面的参变表示法227

361.曲面的侧230

362.曲面的定向法及其侧的选定232

363.逐段光滑曲面的情形234

2.曲面面积235

364.施瓦茨的例235

365.显式方程所给曲面的面积236

366.一般情形的曲面面积238

367.例240

3.第一型面积分242

368.第一型面积分定义242

369.化为寻常二重积分242

370.第一型面积分在力学上的应用244

4.第二型面积分247

371.第二型面积分定义247

372.化为寻常二重积分248

373.斯托克斯公式250

374.斯托克斯积分应用于空间线积分的研究253

第二十三章 三重积分256

1.三重积分及其计算256

375.立体质量计算问题256

376.三重积分及其存在条件257

377.可积分函数及三重积分的性质258

378.三重积分的计算259

379.力学上的应用262

2.奥斯特罗格拉茨基公式264

380.奥斯特罗格拉茨基公式264

381.奥斯特罗格拉茨基公式的几个应用实例266

3.三重积分变量替换269

382.空间区域的变换269

383.体积表示为曲线坐标271

384.几何的推导法274

385.三重积分的变量替换275

386.例276

387.史话278

4.场论初步278

388.数量与向量278

389.数量场与向量场279

390.沿给定方向的导数·梯度280

391.通过曲面的向量流量282

392.奥斯特罗格拉茨基公式散度283

393.向量的循环量·斯托克斯公式·旋度284

5.多重积分286

394.m维体的体积与m重积分286

395.例288

第二十四章 傅里叶级数290

1.导言290

396.周期量与调和分析290

397.决定系数的欧拉-傅里叶方法292

398.正交函数系294

2.函数的傅里叶级数展开式296

399.问题的提出·狄利克雷积分296

400.基本引理298

401.局部化原理299

402.函数的傅里叶级数表示法300

403.非周期函数的情形301

404.任意区间的情形303

405.只含余弦或只含正弦的展开式304

406.例306

407.连续函数展开为三角多项式级数310

3.傅里叶积分312

408.傅里叶积分作为傅里叶级数的极限情形312

409.预备说明313

410.用傅里叶积分表示函数314

411.傅里叶公式的种种形式315

412.傅里叶变换317

4.三角函数系的封闭性与完备性319

413.函数的平均近似·傅里叶级数段的极值性质319

414.三角函数系的封闭性321

415.三角函数系的完备性324

416.广义封闭性方程325

417.傅里叶级数的逐项积分326

418.几何的解释327

5.三角级数简史331

419.弦振动问题331

420.达朗贝尔及欧拉的解法332

421.泰勒及丹尼尔·伯努利的解法333

422.关于弦振动问题的争论336

423.函数的三角展开式·系数的决定337

424.傅里叶级数收敛性证明及其他问题338

425.结尾语339

附录 数学分析进一步发展概况341

Ⅰ.微分方程341

Ⅱ.变分法342

Ⅲ.复变函数论345

Ⅳ.积分方程论347

Ⅴ.实变函数论349

Ⅵ.泛函分析352

索引357