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第一章 数学分析中的几个话题1

1.1初等数学1

1.1.1数字，变量和初等函数1

1.1.2二次与三次方程5

1.1.3相似图形的面积.以椭圆为例8

1.1.4二次代数曲线10

1.2微分和积分运算14

1.2.1微分法则14

1.2.2中值定理15

1.2.3微分形式的不变性16

1.2.4积分法则17

1.2.5泰勒级数17

1.2.6复变量19

1.2.7函数的近似表达式21

1.2.8雅可比行列式、函数无关性、多重积分的换元法22

1.2.9函数的线性无关.朗斯基行列式23

1.2.10积分23

1.2.11曲线族的微分方程24

1.3向量分析26

1.3.1向量代数27

1.3.2矢量函数29

1.3.3向量场30

1.3.4三个经典的积分定理31

1.3.5拉普拉斯方程32

1.3.6行列式的微分32

1.4微分代数的符号33

1.4.1微分变量.全微分33

1.4.2乘积和复合函数的高阶微分34

1.4.3多元微分函数34

1.4.4微分方程的空间曲面35

1.4.5换元法求导37

1.5变分法39

1.5.1最小作用量原理39

1.5.2多元欧拉一拉格朗日方程40

习题一40

第二章 数学物理问题45

2.1导言45

2.2自然现象46

2.2.1人口模型46

2.2.2生态学：放射性的废弃物47

2.2.3开普勒（kepler）定律，牛顿万有引力定律48

2.2.4地表的自由落体运动49

2.2.5流星体50

2.2.6雨水模型51

2.3物理学和工程学52

2.3.1牛顿冷却模型52

2.3.2机械振动，钟摆58

2.3.3传动轴的失效62

2.3.4 van der Pol方程64

2.3.5电报方程64

2.3.6电动力学65

2.3.7狄拉克方程66

2.3.8流体动力学67

2.3.9 Navier-Stokes方程68

2.3.10灌溉系统模型68

2.3.11磁流体动力学68

2.4扩散现象69

2.4.1线性热传导方程69

2.4.2非线性热传导方程71

2.4.3 Burgers方程和Korteweg-de Vries方程71

2.4.4经济学数学模型72

2.5生物数学72

2.5.1巧妙的蘑菇72

2.5.2肿瘤的生长模型74

2.6波现象75

2.6.1绳索的微小振动75

2.6.2振动膜77

2.6.3极小曲面79

2.6.4振动细长杆和板80

2.6.5非线性波82

2.6.6 Chaplygin和Tricomi方程83

习题二84

第三章 常微分方程：经典方法85

3.1简介和基础方法85

3.1.1微分方程.初值问题85

3.1.2方程y（n）＝f（x）的积分87

3.1.3齐次方程87

3.1.4齐次性的不同种类90

3.1.5降阶91

3.1.6微分线性化92

3.2一阶方程92

3.2.1可分离变量方程92

3.2.2全微分方程93

3.2.3积分因子（A.Clairaut，1739）94

3.2.4里卡蒂方程96

3.2.5伯努利方程99

3.2.6齐次线性方程99

3.2.7非齐次线性方程.常数变易法100

3.3二阶线性方程102

3.3.1齐次方程：叠加性102

3.3.2 齐次方程：等价性质103

3.3.3齐次方程：常系数106

3.3.4非齐次方程：常数变易法107

3.3.5贝塞尔方程和贝塞尔函数111

3.3.6超几何方程111

3.4高阶线性方程113

3.4.1齐次方程.基础解系113

3.4.2非齐次方程.常数变易法113

3.4.3常系数方程114

3.4.4欧拉方程116

3.5一阶方程组116

3.5.1方程组的一般属性116

3.5.2首次积分117

3.5.3常系数的线性方程组121

3.5.4方程组的常数变易法123

习题三125

第四章 一阶偏微分方程127

4.1简介127

4.2齐次线性方程128

4.3非齐次方程的特解130

4.4拟线性方程131

4.5齐次方程组134

习题四138

第五章 二阶线性偏微分方程141

5.1多元方程141

5.1.1固定点的分类141

5.1.2伴随线性微分算子143

5.2含两个自变量的方程的分类145

5.2.1特征值，三种类型方程145

5.2.2双曲型方程的标准形式147

5.2.3抛物线型方程的标准形式148

5.2.4椭圆型方程的标准形式149

5.2.5混合型方程150

5.2.6非线性方程的类型150

5.3包含两个变量的双曲型方程的积分151

5.3.1 d’Alembert解151

5.3.2可化为波动方程的等式152

5.3.3欧拉方法156

5.3.4拉普拉斯级联法159

5.4初值问题161

5.4.1波动方程161

5.4.2非齐次波动方程162

5.5混合问题，变量分离163

5.5.1端部固定的弦的振动164

5.5.2热传导方程的混合问题167

习题五168

第六章 非线性常微分方程171

6.1简介171

6.2群变换172

6.2.1平面上只含一个参数的群172

6.2.2群生成元和李方程173

6.2.3指数映射175

6.2.4不变量和不变方程176

6.2.5典型变量179

6.3一阶微分方程的对称性180

6.3.1群生成元的首次延拓180

6.3.2对称群的定义和主要性质181

6.3.3给定对称性的方程183

6.4利用对称求解一阶微分方程的积分185

6.4.1李积分因子185

6.4.2利用典型变量求积分187

6.4.3不变解系191

6.4.4由不变解系给出的通解191

6.5二阶方程193

6.5.1群生成元的二次延拓.对称的计算193

6.5.2李代数195

6.5.3二维李代数的标准形式197

6.5.4李氏积分法197

6.5.5已知一个特解的线性方程积分203

6.5.6李的线性化验证205

6.6高阶方程209

6.6.1不变解.欧拉猜想的推导209

6.6.2积分因子（N.H.Ibragimov，2006）210

6.6.3三阶方程的线性化218

6.7非线性叠加225

6.7.1导言225

6.7.2非线性叠加的重要定理227

6.7.3非线性叠加的例子231

6.7.4使用非线性叠加的方程组积分239

习题六240

第七章 非线性偏微分方程243

7.1对称243

7.1.1对称群的定义和计算244

7.1.2解的群变换248

7.2群不变解249

7.2.1简介249

7.2.2 Burgers方程251

7.2.3一个非线性边值问题253

7.2.4一个灌溉系统的不变解256

7.2.5肿瘤生长模型的不变解257

7.2.6一个非线性光学的例子259

7.3不变性和守恒定律261

7.3.1简介261

7.3.2预备263

7.3.3诺特定理265

7.3.4高阶拉格朗日算子265

7.3.5常微分方程组的守恒定律266

7.3.6诺特定理的一般化267

7.3.7来自经典力学的例子268

7.3.8爱因斯坦能量公式的推导271

7.3.9狄拉克方程的守恒定律271

习题七273

第八章 广义函数或分布275

8.1广义函数简介275

8.1.1启发式思考275

8.1.2分布的定义和举例277

8.1.3用δ函数表示的极限278

8.2分布的运算279

8.2.1函数的乘法279

8.2.2微分279

8.2.3分布的直积279

8.2.4卷积280

8.3分布△（r 2-n）281

8.3.1球面上的平均值281

8.3.2拉普拉斯方程△u（r）＝0的解282

8.3.3分布△（r2-n）的计算283

8.4分布的变换284

8.4.1线性换元法284

8.4.2 δ函数的换元法285

8.4.3任意的群变换286

8.4.4分布的无穷小变换287

习题八288

第九章 不变原理和基本解289

9.1简介289

9.2不变原理290

9.2.1不变原理的公式表达290

9.2.2常系数线性方程的基本解290

9.2.3拉普拉斯方程的应用291

9.2.4热传导方程的应用293

9.3热传导方程的柯西问题294

9.3.1柯西问题的基本解294

9.3.2用不变原理求解柯西问题基本解295

9.3.3柯西问题的解297

9.4波动方程297

9.4.1微分形式的初步知识297

9.4.2相伴齐次方程的分布301

9.4.3波动方程基本解的对称性定义303

9.4.4基本解的求解305

9.4.5柯西问题的解306

9.5变系数方程307

习题九307

参考答案309

参考文献319

索引323