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第1章 误差1

1.1误差、误差计算和误差来源1

1.1.1误差表示法1

1.1.2误差限1

1.1.3误差计算2

1.1.4误差来源2

1.1.5有效数字及与相对误差之间的关系4

1.2算法选择5

1.2.1正确性5

1.2.2算法选择的一般常识6

1.2.3尽量使除数绝对值远离09

1.3误差与收敛性、稳定性9

1.3.1收敛性9

1.3.2稳定性10

1.3.3选择程序设计难度低、程序本身复杂程度低的算法10

习题11

第2章 解线性方程组的直接法12

2.1Gauss消元法12

2.1.1不考虑主元素的Gauss消元法12

2.1.2Gauss消元法的计算实例14

2.1.3Gauss列主元法15

2.1.4Gauss列主元消元法的计算量16

2.1.5Gauss列主元消元法的计算步骤17

2.1.6Gauss列主元消元法的计算实例18

2.1.7Gauss全主元消元法19

2.2改进平方根法19

2.2.1正定矩阵的定义和性质19

2.2.2改进平方根法的算式推导19

2.2.3改进平方根法的计算步骤21

2.2.4改进平方根法的计算实例22

2.2.5改进平方根法的计算量22

2.3追赶法23

2.3.1追赶法的算法推导23

2.2.6变带宽压缩存储改进平方根法23

2.3.2追赶法的计算步骤24

2.3.3追赶法的计算实例25

2.4LU分解法26

2.4.1LU分解法的计算公式26

2.4.2LU分解法的求解公式26

2.4.3LU分解法的计算步骤27

2.4.4LU分解法的计算实例28

2.5直接法的稳定性分析28

2.5.1向量范数29

2.5.2矩阵范数30

2.5.3矩阵范数的性质31

2.5.4直接法的误差分析33

2.5.5算法和稳定性关系34

习题二34

3.1.1二分法的计算公式37

3.1二分法37

第3章 非线性方程的数值解法37

3.1.2二分法的计算步骤39

3.1.3二分法的计算实例39

3.2Newton法40

3.2.1Newton法的迭代公式40

3.2.2Newton法的计算步骤41

3.2.3Newton法的收敛性42

3.3.1双点割线法的迭代公式44

3.3割线法44

3.2.4Newton法的计算实例44

3.3.2双点割线法的计算步骤45

3.3.3双点割线法的收敛性46

3.3.4双点割线法的计算实例46

3.3.5单点割线法的迭代公式47

3.3.6单点割线法的计算步骤47

3.3.7单点割线法的收敛性47

3.3.8单点割线法的计算实例47

3.4.1逐次迭代法的迭代公式48

3.4逐次迭代法48

3.4.2逐次迭代法的收敛性49

3.4.3逐次迭代法的计算步骤51

3.4.4逐次迭代法的计算实例51

3.5根的分离和求全部单根算法53

3.5.1根的分离53

3.5.2用Newton法求所有根的计算公式53

3.5.3特殊处理53

3.5.5用Newton法求所有根的计算实例54

3.5.4用Newton法求所有根的计算步骤54

习题三55

第4章 解线性代数方程组的迭代法56

4.1向量序列和矩阵序列的极限56

4.2Jacobi迭代法57

4.2.1Jacobi迭代法的迭代公式57

4.2.2Jacobi迭代法的矩阵形式58

4.2.3Jacobi迭代法的计算步骤59

4.2.4Jacobi迭代法计算实例60

4.3Gauss-Seidel迭代法61

4.3.1Gauss-Seidel迭代法的迭代公式61

4.3.2Gauss-Seidel迭代法的矩阵形式61

4.3.3Gauss-Seidel迭代法的计算步骤62

4.3.4Gauss-Seidel迭代法的计算实例63

4.4松弛迭代法63

4.4.4松弛迭代法的计算实例64

4.4.3松弛迭代法的计算步骤64

4.4.2松弛迭代法的矩阵形式64

4.4.1松弛迭代法的迭代公式64

4.5迭代法的收敛条件65

4.5.1对角占优矩阵和不可约矩阵65

4.5.2迭代法的收敛条件和误差估计66

4.6压缩存储74

4.6.1压缩存储Jacobi迭代公式74

4.6.2压缩存储Jacobi迭代法的计算步骤75

4.6.4压缩存储Seidel迭代法计算实例和程序76

4.6.3压缩存储Seidel迭代法算法76

习题四78

第5章 求矩阵特征值与特征向量80

5.1幂法80

5.1.1幂法的基本思想80

5.1.2幂法的计算公式81

5.1.3幂法的实际计算公式83

5.1.4幂法的计算步骤84

5.1.5幂法的计算实例85

5.2逆幂法86

5.2.1逆幂法的计算公式86

5.2.2逆幂法的计算步骤87

5.2.3逆幂法的计算实例87

5.2.4用逆幂法求在？附近的特征值的计算公式88

5.2.5用逆幂法求在？附近的特征值的计算实例88

5.3求实对称阵特征值的对分法89

5.3.1求实三对角阵特征值的对分法89

5.3.2实对称阵的三对角化92

习题五97

第6章 代数插值多项式99

6.1Lagrange插值多项式99

6.1.1线性Lagrange插值多项式99

6.1.2 2阶Lagrange插值多项式100

6.1.3 n阶Lagrange插值多项式100

6.1.4代数插值多项式余项计算101

6.1.5Lagrange插值多项式的计算量102

6.1.6Lagrange插值多项式的计算步骤102

6.1.7Lagrange插值多项式的计算实例103

6.2Newton插值多项式104

6.2.1 1阶Newton插值多项式104

6.2.2 2阶Newton插值多项式104

6.2.3n阶Newton插值多项式105

6.2.4Newton插值多项式的进一步研究106

6.2.5Newton插值多项式的计算步骤107

6.2.6带重节点的Newton插值多项式108

6.2.7带重节点的Newton插值多项式的计算步骤（略）110

6.2.8带重节点的Newton插值多项式的余项估计110

6.3新代数插值110

6.3.1Runge现象110

6.3.2新代数插值多项式111

6.3.3新代数插值多项式的性质113

6.3.4平方等距插值的计算步骤114

6.3.5新代数插值的计算量116

6.3.6新代数插值的计算实例117

6.3.7新代数插值的计算实例的结果分析120

习题六120

第7章 样条函数122

7.1二次样条函数122

7.1.1二次样条函数的特性122

7.1.2二次样条函数的系数确定122

7.1.3二次样条函数的计算步骤123

7.14二次样条函数的计算实例124

7.2三次样条函数125

7.2.1三次样条函数的定义125

7.2.2边界条件问题的提出与类型125

7.2.3三次样条函数的构造方法126

7.2.4三次样条函数的计算过程128

7.2.5三次样条函数的计算实例129

习题七130

第8章 有理插值131

8.1连分式131

8.1.1连分式的概念131

8.1.2连分式的计算132

8.2有理插值134

8.2.1有理插值函数134

8.2.2反差商递推计算公式135

8.2.3有理插值136

8.2.4有理插值的计算过程136

8.2.6逐次有理插值的计算步骤137

8.2.5有理插值的计算实例137

8.2.7逐次有理插值的计算实例139

8.2.8误差分析140

习题八141

第9章 数值微积分142

9.1数值积分基本方法142

9.1.1一般数值积分公式142

9.1.2构造数值积分公式的基本方法142

9.2.1梯形积分公式的推导143

9.2.2梯形积分公式的几何意义143

9.1.3代数精度143

9.2梯形积分143

9.2.3梯形积分公式的代数精度和截断误差144

9.2.4复合梯形积分公式144

9.2.5复合梯形积分公式的计算步骤145

9.2.6复合梯形积分公式的计算实例146

9.3.2Simpson积分公式的代数精度147

9.3.1Simpson积分公式的推导147

9.3Simpson积分147

9.3.3Simpson积分公式的截断误差148

9.3.4复合Simpson积分公式149

9.3.5复合Simpson积分公式求积的计算步骤149

9.3.6复合Simpson积分公式求积的计算实例150

9.4等距节点的Newton-Cotes积分151

9.4.1Newton-Cotes积分公式的推导151

9.4.2Newton-Cotes积分公式的代数精度152

9.4.4Newton-Cotes积分公式的稳定性分析153

9.4.3Newton-Cotes积分公式的截断误差153

9.5Romberg积分154

9.5.1复合梯形公式逐次分半算法154

9.5.2复合梯形公式逐次分半算法的计算步骤155

9.5.3复合梯形公式逐次分半算法的计算实例155

9.5.4Romberg积分公式156

9.5.5Romberg积分公式的计算步骤158

9.6.1选取节点和系数提高代数精度159

9.5.6Romberg积分公式的计算实例159

9.6Gauss积分159

9.6.2正交多项式160

9.6.3Gauss积分公式的构造161

9.6.4Gauss积分公式的计算步骤162

9.6.5Gauss积分公式的计算实例163

9.6.6Gauss积分公式的截断误差163

9.6.7Gauss积分公式的稳定性分析163

9.7多重数值积分164

9.7.1多元Lagrange插值多项式164

9.7.2二元Newton-Cotes积分公式165

9.7.3二元Newton-Cotes积分公式的代数精度165

9.7.4边界处理及复合Newton-Cotes积分公式165

9.7.5二元Gauss积分公式167

9.7.6二元Gauss积分公式的代数精度167

9.7.8复合二元Newton-Cotes积分公式和Gauss积分公式的计算实例168

9.7.7边界处理及复合二元Gauss积分公式168

9.8数值微分169

9.8.1差商法169

9.8.2外推法170

9.8.3外推法的计算步骤170

9.8.4外推法的计算实例171

9.8.5插值型求导公式171

9.8.6插值型求导公式的计算实例172

习题九173

第10章 常微分方程初值问题的数值解175

10.1Euler法176

10.1.1Euler公式的推导176

10.1.2Euler法的计算步骤176

10.1.3Euler法的截断误差177

10.2改进Euler法和预估—校正法180

10.2.1改进Euler法180

10.2.2改进Euler法的收敛性181

10.2.4预估—校正法的计算步骤182

10.2.3预估—校正法182

10.2.5预估—校正法的计算实例183

10.3Runge-Kutta法184

10.3.1高阶Taylor法184

10.3.22阶Taylor法的计算实例184

10.3.32阶Runge-Kutta法185

10.3.43阶和4阶Runge-Kutta法的计算公式187

10.3.64阶Runge-Kutta法的计算实例188

10.3.54阶Runge-Kutta法的计算步骤188

10.4Adams法189

10.4.1Adams内插法190

10.4.2Adams外插法191

10.4.3Adams外插法与内插法的计算实例192

10.4.44阶Adams预估—校正法的计算公式193

10.4.54阶Adams预估—校正法的计算步骤193

10.4.64阶Adams预估—校正法的计算实例195

10.5收敛性与稳定性195

10.5.1收敛性196

10.5.2稳定性197

习题十200

第11章 算法、公式、程序和语句201

11.1简单算法和重复型简单算法201

11.1.1简单算法201

11.1.2重复型简单算法202

11.2穷举法203

11.3.1一元递推算法204

11.3递推算法204

11.3.2二元递推算法205

11.3.3广义递推算法206

11.4迭代算法208

11.4.1变量迭代法208

11.4.2向量迭代法210

11.5数学实验211

习题参考答案213

参考文献219