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第一章 数学真理的创造1

第一节 负数和虚数的引进2

一、负数的引进2

二、虚数的引进5

第二节 非欧几何的诞生10

一、平行公理的证明10

二、罗氏几何的诞生14

三、黎曼几何的诞生20

第三节 超限数理论的创立23

一、超限数的创立24

二、超限数创立的哲学分析36

第四节 数理逻辑的形成40

一、莱布尼兹的数理逻辑思想41

二、布尔代数43

三、数理逻辑形成的哲学分析48

第五节 结论57

第二章 数学真理的发展64

第一节 微积分的严密化运动64

第二节 从笛卡儿的解析几何到格拉斯曼的n维几何72

一、笛卡儿的解析几何72

二、格拉斯曼的n维几何73

第三节 从方程论到群论77

一、代数方程的根式解77

二、群论的创立80

第四节 结论84

第三章 数学真理的客观性87

第一节 欧氏几何是现实空间的正确描述87

第二节 非欧几何的出现92

第三节 欧几里得的《几何原本》与希尔伯特的《几何基础》95

一、欧几里得《几何原本》的缺陷95

二、希尔伯特的《几何基础》99

第四节 希尔伯特规划112

一、集合论悖论的发现112

二、希尔伯特规划115

第五节 塔尔斯基关于真理的理论116

第四章 逻辑与历史的复杂关系127

第一节 线性代数中逻辑与历史不一致的现象128

一、行列式理论的形成129

二、矩阵理论的形成131

三、行列式概念与矩阵概念的关系133

第二节 几何学中逻辑与历史不一致的现象137

一、射影几何的肇始137

二、几何学的分类140

三、度量几何与射影几何141

第三节 微积分中逻辑与历史不一致的现象148

第四节 结论157

第五章 数学真理的多元性158

第一节 关于无理数的两种理论158

一、无理数的发现158

二、关于无理数的两种不同理论162

第二节 关于自然数的三种理论170

一、关于自然数的第一种理论170

二、萨尔可夫斯基序列—关于自然数的第二种理论176

三、用集合表示自然数—关于自然数的第三种理论179

第三节 关于空间并存着的几种几何180

第四节 标准分析与非标准分析185

一、标准分析185

二、非标准分析187

第五节 两种不同的公理集合论系统190

一、康托尔集合论的缺陷190

二、策梅洛—弗伦克尔公理系统192

三、GB系统196

第六节 结论199

第六章 数学真理的判定203

第一节 经验不是判定数学真理的标准203

第二节 逻辑证明210

一、逻辑证明210

二、演绎推理在数学中的其他作用216

第三节 实践证明220

第四节 再谈逻辑证明224

第七章 数学真理的走向233

第一节 从欧氏几何到非欧几何233

一、作为绝对真理的欧氏几何233

二、作为相对真理的欧氏几何和非欧几何242

三、康德的几何思想246

第二节 代数中的形式永恒性原理与非交换代数249

一、代数中的形式永恒性原理249

二、非交换代数的出现252

第三节 希尔伯特的证明论与哥德尔不完全性定理257

一、数学理论绝对相容性的追求257

二、哥德尔的不完全性定理264

第四节 结论268

参考文献270