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第一章 引论1

1 数值分析的研究对象1

2 数值计算的误差2

2.1 误差的来源与分类2

2.2 误差与有效数字3

2.3 求函数值和算术运算的误差估计5

2.4 计算机的浮点数表示和舍入误差6

3 病态问题、数值稳定性与避免误差危害8

3.1 病态问题与条件数8

3.2 数值方法的稳定性9

3.3 避免有效数字的损失11

3.4 减少运算次数12

4 矩阵、向量和连续函数的范数13

4.1 范数的一般概念13

4.2 向量的范数18

4.3 矩阵的范数19

评注26

习题26

第二章 插值法29

1 Lagrange插值29

1.1 Lagrange插值多项式29

1.2 插值余项及估计32

1.3 线性插值和抛物插值34

2 均差与Newton插值公式36

2.1 Newton插值公式36

2.2 均差及其性质38

2.3 均差型余项41

3 插值余项的Peano估计43

3.1 近似公式的误差43

3.2 一般Peano余项公式45

3.3 插值余项公式47

4.1 差分及其性质51

4 差分与等距节点插值公式51

4.2 等距节点插值公式53

5 Hermite插值56

5.1 Hermite插值多项式56

5.2 重节点均差59

5.3 Newton形式的Hermite插值多项式62

5.4 一般密切插值(Hermite插值)65

6.1 插值法的收敛性问题66

6 分段低次插值66

6.2 分段线性插值69

6.3 分段三次Hermite插值72

7 三次样条插值的计算方法75

7.1 三次样条插值函数75

7.2 M关系式76

7.3 m关系式78

7.4 数值例子80

8.1 基本性质83

8 三次样条插值函数的性质与误差估计83

8.2 误差估计84

9 B-样条函数88

9.1 B-样条函数概念88

9.2 B-样条函数基本性质91

9.3 低次正规化B-样条函数96

9.4 样条函数插值98

10 二元插值101

10.1 Lagrange插值101

10.2 分片双线性插值104

10.3 分片双三次Hermite插值105

评注105

习题106

第三章 函数逼近110

1 正交多项式110

1.1 正交多项式的概念及性质110

1.2 Legendre多项式114

1.3 Chebyshev多项式116

1.4 Laguerre多项式118

1.5 Hermite多项式118

2 函数的最佳平方逼近119

2.1 最佳平方逼近概念及计算119

2.2 用正交函数作最佳平方逼近122

2.3 用Legendre多项式作最佳平方逼近124

3 最小二乘法126

3.1 最小二乘法及其计算126

3.2 用正交函数作最小二乘131

4 周期函数的最佳平方逼近132

4.1 周期函数的最佳平方逼近133

4.2 离散情形136

4.3 f为周期复值函数的情形138

5 快速Fourier变换138

5.1 快速Fourier变换139

5.2 以2为底的FFT141

5.3 Sande-Tukey算法146

6 函数的最佳一致逼近148

6.1 最佳一致逼近多项式的存在性148

6.2 Chebyshev定理150

6.3 零偏差最小问题155

6.4 最佳一致逼近多项式156

7 近似最佳一致逼近多项式157

7.1 用Chebyshev多项式的展开来逼近函数157

7.2 Chebyshev多项式零点插值159

8 Chebyshev节约化161

评注165

习题166

第四章 数值积分和数值微分169

1 Newton-Cotes求积公式169

1.1 插值型积分法169

1.2 Newton-Cotes 求积公式170

1.3 Newton-Cotes公式的误差分析172

1.4 计算稳定性问题175

1.5 开型求积公式176

2 复合求积公式178

2.1 复合梯形求积公式179

2.2 复合Simpson 求积公式181

3 Peano 的误差表示183

3.1 梯形公式的误差183

3.2 Simpson公式的误差185

3.3 利用导数值的求积公式188

4 Gauss求积公式191

4.1 一般理论191

4.2 Gauss 求积方法的稳定性与收敛性194

4.3 Gauss-Legendre 求积公式197

4.4 Gauss-Chebyshev 求积公式199

4.5 修改Gauss 求积公式201

5 Romberg 求积公式203

5.1 Euler-Maclaurin 求和公式204

5.2 Richardson外推204

5.3 Romberg求积方法207

6 奇异积分与振荡函数的积分210

6.1 反常积分的数值方法210

6.2 无穷区间上的积分214

6.3 无穷区间上的Gauss 求积公式216

6.4 振荡函数的积分217

7 二维近似求积219

7.1 矩形域上的插值型求积公式220

7.2 复合求积公式222

7.3 Gauss 型求积公式225

8 数值微分226

8.1 插值型求导公式226

8.2 数值微分问题化为数值积分问题228

8.3 数值微分的外推算法231

评注232

习题233

第五章 解线性代数方程组的直接方法236

1 Gauss 消去法236

1.1 Gauss消去法的计算过程237

1.2 消去法的进一步讨论，矩阵的LU分解240

2 主元素消去法245

2.1 有换行步骤的消去法245

2.2 列主元素消去法与完全主元素消去法246

2.3 包含换行步骤的三角分解定理249

3 直接三角分解方法250

3.1 Doolittle分解方法250

3.1 列主元直接三角分解方法253

3.3 三对角方程组的追赶法254

3.4 对称正定矩阵的Cholesky分解，平方根法258

4.1 矩阵的奇异值及其性质与应用261

4 矩阵的奇异值和条件数，直接方法的误差分析261

4.2 矩阵的条件数，扰动方程组的误差界265

4.3 主元素消去浮点舍入的误差分析271

5 解的迭代改进272

5.1 失代改进的计算方法273

5.2 收敛性分析274

6 稀疏矩阵技术介绍276

6.1 稀疏矩阵276

6.2 稀疏矩阵的存贮278

6.3 稀疏方程组的消去法简介281

6.4 稀疏对称正定矩阵的Cholesky分解285

评注289

习题290

第六章 解线性代数方程组的迭代方法294

1 迭代法的基本概念294

1.1 向量序列和矩阵序列的极限294

1.2 迭代公式的构造297

1.3 迭代法的收敛性298

1.4 迭代法的收敛速度301

2 Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法302

2.1 Jacobi迭代法302

2.2 Gauss-Seidel迭代法304

2.3 J法和GS法的收敛性305

3 超松弛(SOR)迭代法310

3.1 超松弛迭代法310

3.2 SOR迭代法的收敛性311

3.3 最优松弛因子，迭代法的比较314

3.4 块松弛迭代法317

4 共轭梯度法319

4.1 与方程组等价的变分问题319

4.2 最速下降法320

4.3 共轭梯度法321

4.4 预处理方法简介327

习题329

评注329

第七章 非线性方程和方程组的数值解法333

1 单个方程的迭代法334

1.1 不动点和不动点迭代法334

1.2 局部收敛性和收敛阶338

2 迭代加速收敛的方法340

2.1 Aitken 的△2方法340

2.2 Steffensen 迭代法341

3 Newton 迭代法344

3.1 Newton 迭代法的计算公式344

3.2 重根情形346

4 割线法与Muller 方法348

4.1 割线法348

4.2 Muller方法351

5 非线性方程组的不动点迭代法351

5.1 向量值函数的导数及其性质352

5.2 不动点迭代法354

6 非线性方程组的Newton法和拟Newton法358

6.1 Newton法358

6.2 拟Newton法361

评注365

习题366

第八章 代数特征值问题计算方法369

1 特征值问题的性质和估计370

1.1 特征值问题的性质370

1.2 特征值的估计和扰动371

2 正交变换及矩阵分解376

2.1 Householder变换376

2.2 Givens变换379

2.3 矩阵的QR分解380

2.4 矩阵的Schur 分解384

3.1 幂迭代法386

3 幂迭代法和逆幂迭代法386

3.2 加速技术(Aitken 方法)389

3.3 收缩方法390

3.4 逆幂迭代法391

4 正交相似变换化矩阵为Hessenberg 形式393

4.1 化矩阵为Hessenberg 形式393

4.2 Hessenberg 形式的不唯一性396

5.1 QR迭代的基本算法及性质398

5 QR方法398

5.2 Hessenberg矩阵的QR方法403

5.3 带有原点位移的QR方法404

5.4 双重步QR方法407

6 对称矩阵特征值问题的计算412

6.1 对称矩阵特征值的性质412

6.2 Rayleigh 商加速和Rayleigh 商迭代412

6.3 Jacobi 方法413

评注417

习题418

第九章 常微分方程初值问题的数值解法422

1 基本概念、Euler 方法和有关的方法422

1.1 Euler 方法、后退Euler 方法和梯形方法422

1.2 单步法的截断误差和阶426

2 Runge-Kutta 方法428

2.1 用Taylor 展开构造高阶方法428

2.2 二、三、四阶的显式Runge-Kutta 方法430

2.3 高阶和隐式的Runge-Kutta 方法434

2.4 误差控制与变步长的Runge-Kutta-Fehlberg方法435

3 单步法的收敛性、相容性与绝对稳定性438

3.1 收敛性438

3.2 相容性439

3.3 绝对稳定性440

4 线性多步法445

4.1 一般形式的线性多步法445

4.2 基于数值积分的方法449

4.3 Adams公式451

4.4 Nystr？m方法454

4.5 待定系数法455

4.6 预估--校正算法456

5 线性差分方程459

5.1 线性差分方程的基本性质459

5.2 齐次差分方程的解461

6 线性多步法的收敛性与稳定性462

6.1 相容性和收敛性462

6.2 稳定性469

6.3 绝对稳定性471

7 一阶方程组与刚性方程组475

7.1 一阶方程组475

7.2 刚性方程组476

评注479

习题480

参考书目483